Cryptography Reference
In-Depth Information
In diesem Erweiterungskörper sind alle irreduziblen Polynome definiert.
Nutzt
man als Modularpolynom nicht das primitive Erzeugerpolynom des Erweite-
rungskörpers, dann lässt sich in diesem „rechnen“. Über den Zusammenhang
2
k
1
−
1
p
i
=
−
1
,i
)
(s. a. 5. Eigenschaft von Minimalpolynomen, S. 167) findet man für das
i
-te
Minimalpolynom die Periode
p
i
|
(2
ggT
(2
k
1
k
1
−
1)
. Eine iterative Suche findet darüber
hinaus auch die Minimalpolynome, welche eine vorgegebene Periode erfüllen.
Der Index
i
des gewünschten Minimalpolynoms als Modularpolynom spielt beim
Rechnen im gegebenen Erweiterungskörper eine Rolle.
Beispiel 8.5.14
Das nur irreduzible Polynom
m
3
(
x
)
aus
GF
(2
6
)
(erzeugt auf der Basis von
M
(
x
)=
x
6
+
x
+1
) sei das Modularpolynom
M
(
x
)=
m
1
(
x
)
eines nichtprimi-
tiven BCH-Kodes. Für den Entwurfsabstand
d
E
=5
ist der Kode zu beschrei-
ben.
Lösung:
Die Periode des
m
3
(
x
)
-Polynoms ist
p
3
=
2
6
−
1
ggT
(2
6
−
1
,
3)
=21
. Damit ist die Block-
länge des nichtprimitiven BCH-Kodes
n
=
p
3
=21
.
Es sei
β
die Nullstelle von
m
1
(
x
)
.
Die Zyklen der Elemente über das Modu-
larpolynom
m
1
(
x
)
sind dann:
β
1
,β
2
,β
4
,β
8
,β
16
,β
32mod 21
=
β
11
β
3
,β
6
,β
12
β
5
,β
10
,β
20
,β
19
,β
17
,β
13
β
7
,β
14
β
9
,β
18
,β
15
sowie
β
0
.
Das Generatorpolynom ergibt sich für
μ
=1
aus:
g
(
x
)=
kgV
m
1
(
x
)
,m
2
(
x
)
,m
3
(
x
)
,m
4
(
x
)
}
=
m
1
(
x
)
m
3
(
x
)
.
Die Zuordnung der Polynome
m
i
(
x
)
zu
m
i
(
x
)
in
GF
(2
6
)
erfolgt nun über den
Zusammenhang
β
i
{
=(
α
3
)
i
,
weil
α
3
Nullstelle von
m
3
(
x
)
ist:
m
1
(
x
)
−→
m
3
(
x
)=
x
6
+
x
4
+
x
2
+
x
+1
m
3
(
x
)
−→ β
3
=(
α
3
)
3
−→ m
9
(
x
)=
x
3
+
x
2
+1
m
i
(
x
)
wird Tabellen, z. B. in [PEW 91] oder [BOS 98], entnommen.
Damit beschreibt das Generatorpolynom
g
(
x
)=
m
3
(
x
)
m
9
(
x
)
einen nichtpri-
mitiven und wegen
n
=
p
3
auch einen zyklischen
(21
,
12
,
5)
BCH-Kode.
Zum Vergleich: Auf der Basis des primitiven Modularpolynoms
M
(
x
)=
x
6
+
x
+1
erhält man für die geforderte Leistungsfähigkeit ein Generatorpolynom
g
(
x
)=
m
1
(
x
)
m
3
(
x
)
und damit einen primitiven
(63
,
51
,
5)
BCH-Kode. Für
β
1
=(
α
3
)
1
−→
