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8.5.3.2 Nichtprimitive BCH-Kodes
Einem nichtprimitiven BCH-Kode liegt ein irreduzibles, nicht primitives Mo-
dularpolynom zugrunde.
Für die Bildung des Generatorpolynoms gelten die Ausführungen entsprechend
Abschn. 8.5.3.1. Die Kodewortlänge eines nur irreduziblen Modularpolynoms
ist
n<
2
−
1)
. Die Nullstellenzyklen mit den zueinander
konjugierten Elementen zeigen nicht mehr die bekannte Regelmäßigkeit.
Es stellen sich zwei Fragen:
1. Wie findet man Kodewortlängen nur irreduzibler Polynome?
2. Muss man für jedes irreduzible (auch primitive) Polynom einen neuen Er-
weiterungskörper aufstellen?
Zunächst zur Beantwortung der ersten Frage:
Man geht vom Grad
k
1
aus. Ist
(2
k
1
−
1
und
n |
(2
k
1
−
1)
eine Primzahl, dann sind alle Mini-
malpolynome auch primitiv. Wenn nicht, zerlegt man
(2
k
1
−
1)
in seine Prim-
faktoren. Die Primfaktoren selbst oder ein Produkt von Primfaktoren ergeben
dann mögliche Kodewortlängen
n |
(2
k
1
k
1
−
1)
.
Beispiel 8.5.13
k
1
2
k
1
−
1
n |
(2
k
1
−
1)
Primfaktoren
2
3
3
3
3
7
7
7
4
15
3
·
5
5,15
5
31
31
31
6
63
3
·
3
·
7
7,9,21,63
7
127
127
127
8
255
3
·
5
·
17
15,17,51,85,255
9
511
7
·
73
73,511
10
1023
3
·
11
·
31
11,31,33,93,341,1023
11
2047
23
·
89
23,89,2047
12
4095
3
2
·
5
·
7
·
13
13,15,21,35,39,45,63,65,91,105,117,195,...,4095
13
8191
8191
8191
3
·
43
·
127
43,127,129,381,5461,16838
Es existiert beispielsweise ein nur irreduzibles Polynom vom Grad
k
1
=8
mit
einer realisierbaren Kodewortlänge von
n
=
p
=51
.
14
16383
Zur zweiten Frage:
Existieren verschiedene primitive Polynome gleichen Grades
k
1
, so ergeben
sich damit äquivalente Erweiterungskörper, d. h., es genügt nur
einen
zu
kennen.