Cryptography Reference
In-Depth Information
k
1
=5: 2
5
−
1=31
≥
25 +
k
(Gl. (8.32),
k ≤
6?
Zyklen:
α
1
,α
2
,α
4
,α
8
,α
16
grad
m
1
(
x
)=5
α
3
,α
6
,α
12
,α
24
,α
48mod 31
=
α
17
grad
m
3
(
x
)=5
−→
Abbruch, da beide Zyklen bereits mehr als 6 redundante Stellen erfordern.
k
1
=6: 2
6
−
1=63
≥
25 +
k, k
≤
38 ?
Zyklen:
α
1
,α
2
,α
4
,α
8
,α
16
,α
32
grad
m
1
(
x
)=6
α
3
,α
6
,α
12
,α
24
,α
48
,α
96mod 63
=
α
33
grad
m
3
(
x
)=6
α
5
,α
10
,α
20
,α
40
,α
17
,α
34
grad
m
5
(
x
)=6
α
7
,α
14
,α
28
,α
56
,α
49
,α
35
grad
m
7
(
x
)=6
−→
Notwendige Aufeinanderfolge von Nullstellen in vier Zyklen,
d
min
=9
−→
g
(
x
)=
m
1
(
x
)
m
3
(
x
)
m
5
(
x
)
m
7
(
x
)
,k
=
grad
g
(
x
)=24
−→
(63
,
39
,
9)
BCH-Kode
Da die Quelle nur eine Quellenkodelänge von
l
=25
erfordert, lässt sich dieser
Kode verkürzen. D. h., anstelle des Auffüllens von Vornullen verkürzt man
l
auf die notwendige Anzahl und arbeitet mit einem verkürzten
(49
,
25
,
9)
BCH-
Kode.
g
(
x
)
und
d
min
bleiben davon unbeeinflusst (s. a. Abschn. 8.5.3.3).
Die aufgezeigten Zusammenhänge für die Bildung eines Generatorpolynoms
und damit Konstruktion eines BCH-Kodes sind auch von Interesse, wenn es
um die
Analyse eines
(
n, l, d
min
=?)
BCH-Kodes
geht.
Beispiel 8.5.12
Es ist ein
(31
,
25
,
?)
BCH-Kode bekannt. Über welche Fehlererkennungseigen-
schaften verfügt dieser Kode?
Lösung:
Der Grad des primitiven Modularpolynoms ist
k
1
=5
,weil
n
=2
5
−
1=31
ist.
Der Grad des Generatorpolynoms ist mit
k
=
n − l
=
grad
g
(
x
)=6
bekannt.
Welche Minimalpolynome sind Bestandteil von
g
(
x
)
?
Zyklen:
α
0
grad
m
0
(
x
)=1
α
1
,α
2
,α
4
,α
8
,α
16
grad
m
1
(
x
)=5
α
3
,α
6
,α
12
,α
17
grad
m
3
(
x
)=5
...
k
=6
ergibt sich nur für
g
(
x
)=
m
0
(
x
)
m
1
(
x
)
.
17
Damit sind
α
0
,α
1
,α
2
die aufeinanderfolgenden Nullstellen in
g
(
x
)
und somit
d
min
=4
.
Mit diesem
(31
,
25
,
4)
BCH-Kode sind alle Fehlermuster mit einem Gewicht von
w
(
e
)
≤
3
und alle Bündelfehler mit
f
b
≤
6
mit Sicherheit erkennbar.
17
Wie für die Konstruktion wird auch bei der Analyse von BCH-Kodes vorausgesetzt, dass
nur mit aufeinanderfolgenden Minimalpolynomen der Minimalabstand
d
min
maximal ist.
