Cryptography Reference
In-Depth Information
m
0
(
x
)=
x
+
α
0
=
x
+1
,
m
1
(
x
)=
M
(
x
)=
x
4
+
x
+1
,
m
3
(
x
)=(
x
+
α
3
)(
x
+
α
6
)(
x
+
α
9
)(
x
+
α
12
)=
x
4
+
x
3
+
x
2
+
x
+1
.
Die Generatorpolynome sind damit wie folgt bestimmt:
g
0
(
x
)=(
x
+1)(
x
4
+
x
+1)(
x
4
+
x
3
+
x
2
+
x
+1)
=
x
9
+
x
6
+
x
5
+
x
4
+
x
+1
,
g
1
(
x
)=(
x
4
+
x
+1)(
x
4
+
x
3
+
x
2
+
x
+1)
=
x
8
+
x
7
+
x
6
+
x
4
+1
.
Betrachtet man
g
μ
(
x
)
genauer, widerspiegelt das Generatorpolynom auch den
tatsächlichen Minimalabstand mit
d
min
=
w
(
g
μ
)
.
Es ist
d
min
≥ d
E
.
Mit
g
μ
(
x
)
ergeben sich jetzt folgende BCH-Kodes, die Leistung der Kodes unter
dem Aspekt der Fehlerkorrektur durch Wiederholung
oder
durch Rekonstruk-
tion betrachtet:
g
0
(
x
)
−→
(15
,
6
,
6)
BCH-Kode mit
f
e
=5
oder
f
e
=3
,f
k
=2
(s. a. S. 134),
g
1
(
x
)
−→
(15
,
7
,
5)
BCH-Kode mit
f
e
=4
oder
f
k
=2
.
Ein größerer Minimalabstand weist bessere Leistungseigenschaften auf, jedoch
immer zulasten der Quellenkodelänge
l
und damit der Anzahl Quellenkode-
wörter
L
=2
l
. Es ist also notwendig, diese Parameter in Abhängigkeit vom
jeweiligen Anwendungsfall „optimal“ zu gestalten.
Obige Betrachtung geht von der Vorgabe eines primitiven Modularpolynoms
und damit der Kenntnis des Kodeparameters
n
aus. Es ist genauso gut möglich,
den Kodeparameter
l
, der das Wissen von der Informationsquelle widerspie-
gelt, vorzugeben. In diesem Fall muss ein geeigneter Grad
k
1
des zugrunde
liegenden Modularpolynoms
M
(
x
)
mit der Bedingung
k
1
n
=2
−
1
≥
l
+
k
(8.32)
gefunden werden. Das Modularpolynom vom Grad
k
1
wird dann bekannten
Tabellen (z. B. [PEW 91], [BOS 98]) entnommen.
Beispiel 8.5.11
Zur sicheren Übertragung soll für Quellenkodeblöcke der Länge
l
=25
ein
BCH-Kode konstruiert werden, welcher alle Fehlermuster mit einem Gewicht
w
(
e
)
≤
4
mit Sicherheit korrigiert.
Lösung:
Es sind Entwurfsabstand
d
E
=2
f
k
+1= 9
und damit Generatorpolynom
g
(
x
)=
kgV
(
μ
=1
gewählt) mit den notwendig auf-
einanderfolgenden Nullstellen
α
1
,α
2
, ..., α
8
gegeben.
{
m
1
(
x
)
,m
2
(
x
)
, ..., m
8
(
x
)
}