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m 0 ( x )= x + α 0 = x +1 ,
m 1 ( x )= M ( x )= x 4 + x +1 ,
m 3 ( x )=( x + α 3 )( x + α 6 )( x + α 9 )( x + α 12 )= x 4 + x 3 + x 2 + x +1 .
Die Generatorpolynome sind damit wie folgt bestimmt:
g 0 ( x )=( x +1)( x 4 + x +1)( x 4 + x 3 + x 2 + x +1)
= x 9 + x 6 + x 5 + x 4 + x +1 ,
g 1 ( x )=( x 4 + x +1)( x 4 + x 3 + x 2 + x +1)
= x 8 + x 7 + x 6 + x 4 +1 .
Betrachtet man g μ ( x ) genauer, widerspiegelt das Generatorpolynom auch den
tatsächlichen Minimalabstand mit d min = w ( g μ ) . Es ist d min ≥ d E .
Mit g μ ( x ) ergeben sich jetzt folgende BCH-Kodes, die Leistung der Kodes unter
dem Aspekt der Fehlerkorrektur durch Wiederholung oder durch Rekonstruk-
tion betrachtet:
g 0 ( x ) −→ (15 , 6 , 6) BCH-Kode mit f e =5 oder f e =3 ,f k =2 (s. a. S. 134),
g 1 ( x ) −→ (15 , 7 , 5) BCH-Kode mit f e =4 oder f k =2 .
Ein größerer Minimalabstand weist bessere Leistungseigenschaften auf, jedoch
immer zulasten der Quellenkodelänge l und damit der Anzahl Quellenkode-
wörter L =2
l . Es ist also notwendig, diese Parameter in Abhängigkeit vom
jeweiligen Anwendungsfall „optimal“ zu gestalten.
Obige Betrachtung geht von der Vorgabe eines primitiven Modularpolynoms
und damit der Kenntnis des Kodeparameters n aus. Es ist genauso gut möglich,
den Kodeparameter l , der das Wissen von der Informationsquelle widerspie-
gelt, vorzugeben. In diesem Fall muss ein geeigneter Grad k 1
des zugrunde
liegenden Modularpolynoms M ( x ) mit der Bedingung
k 1
n =2
1
l + k
(8.32)
gefunden werden. Das Modularpolynom vom Grad k 1
wird dann bekannten
Tabellen (z. B. [PEW 91], [BOS 98]) entnommen.
Beispiel 8.5.11
Zur sicheren Übertragung soll für Quellenkodeblöcke der Länge l =25 ein
BCH-Kode konstruiert werden, welcher alle Fehlermuster mit einem Gewicht
w ( e ) 4 mit Sicherheit korrigiert.
Lösung:
Es sind Entwurfsabstand d E =2 f k +1= 9 und damit Generatorpolynom
g ( x )= kgV
( μ =1 gewählt) mit den notwendig auf-
einanderfolgenden Nullstellen α 1 2 , ..., α 8 gegeben.
{
m 1 ( x ) ,m 2 ( x ) , ..., m 8 ( x ) }
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