Cryptography Reference
In-Depth Information
Damit ein BCH-Kode
die
aufeinanderfolgenden Elemente
α
i
(
i
=
μ, μ
+1
, ...,
μ
+
d
E
−
2)
als Nullstellen enthält, wird
g
(
x
)
i. Allg. ein Produkt von Mini-
malpolynomen sein:
g
(
x
)=
kgV
{
m
μ
(
x
)
,m
μ
+1
(
x
)
,m
μ
+2
(
x
)
, ..., m
μ
+
d
E
−
2
(
x
)
}
.
(8.31)
Den zueinander konjugierten Elementen im Erweiterungskörper
GF
(2
)
ist
das gleiche Minimalpolynom zugeordnet. Nach Gl. (8.31) gehen bei der Kon-
struktion von
g
(
x
)
nur die voneinander unabhängigen Minimalpolynome ein.
μ
ist dabei eine beliebige ganze Zahl. Dieser Parameter beeinflusst die Aufein-
anderfolge der Nullstellen und damit auch den tatsächlichen Minimalabstand
d
min
. In vielen praktischen Anwendungsfällen ist
μ
=0
oder
μ
=1
.
In unseren Betrachtungen gehen wir im Weiteren von einer Aufeinanderfolge
der Nullstellen im Abstand Eins der Exponenten von
α
i
aus. Dieser kann auch
größer sein. Entscheidend ist, dass dieser Abstand konstant ist.
Mit diesem Wissen lassen sich bereits die
Kodeparameter eines BCH-Kodes
angeben. Die realisierbare Kodewortlänge ergibt sich aus dem Grad des primi-
tiven Modularpolynoms
M
(
x
)
mit
n
=2
k
1
k
1
−
1
. Die Anzahl redundanter Stellen
leitet sich aus dem Grad des Generatorpolynoms mit
k
=
grad
g
(
x
)
16
ab und
die Anzahl der maximal möglichen Informationsstellen ist
l
=
n
−
k
.
Beispiel 8.5.10
Es ist ein geeigneter
(
n, l, d
min
)
BCH-Kode mit einer Leistungsfähigkeit von
f
k
=2
zu beschreiben. Das Modularpolynom
M
(
x
)=
x
4
+
x
+1
und der
zugehörige Erweiterungskörper
GF
(2
4
)
sind gegeben:
Elemente von
GF
(2
4
)
als
Zugehörige
Potenzen
Polynom-
Polynom-
Minimalpolynome
von
α
koezienten
reste
0
0
0000
α
0
1
0001
m
0
(
x
)=
x
+1
α
1
m
1
(
x
)=
x
4
+
x
+1
α
0010
α
2
α
2
m
2
(
x
)=
x
4
+
x
+1
0100
α
3
α
3
m
3
(
x
)=
x
4
+
x
3
+
x
2
+
x
+1
1000
α
4
m
4
(
x
)=
x
4
+
x
+1
α
+1
0011
α
5
α
2
+
α
0110
m
5
(
x
)=
x
2
+
x
+1
α
6
α
3
+
α
2
1100
m
6
(
x
)=
x
4
+
x
3
+
x
2
+
x
+1
16
Nur für
k
1
=2
ist die Anzahl der aufeinanderfolgenden Nullstellen gleich dem Grad
des Generatorpolynoms. Für
k
1
>
2
ist der Grad des Generatorpolynoms immer größer,
bedingt durch das Vorhandensein von konjugierten Nullstellen in jedem Minimalpolynom.
