Cryptography Reference
In-Depth Information
ergibt sich eine Fehlererkennungswahrscheinlichkeit von
p
FE
=(1
−
2
−k
)
·
100 %
.
(8.30)
Bei
k
=3
redundanten Stellen, wie im obigen Beispiel, liegt die Fehlererken-
nungswahrscheinlichkeit immerhin bei
p
FE
=87
,
5%
,bei
k
=7
redundanten
Stellen sogar schon bei
p
FE
=99
,
2%
!
Nach Fehlererkennung erfolgt im Weiteren je nach Anwendungsfall eine Auffor-
derung zur Wiederholung des Übertragungsvorgangs oder zur Rekonstruktion.
8.5.3
BCH-Kodes
Definition 8.5.4
Bei einem binären BCH-Kode sind die Koezienten der
Kodepolynome Elemente über
GF
(2)
. Der Kode ist über einem Erweiterungs-
körper
GF
(2
)
definiert, der durch ein irreduzibles (primitives) Modularpo-
lynom
M
(
x
)
über
GF
(2)
erzeugt wird.
k
1
8.5.3.1 Primitive BCH-Kodes
Ein BCH-Kode wird durch sein Generatorpolynom
g
(
x
)
vollständig beschrie-
ben. Die Erzeugung von
g
(
x
)
hängt in jedem Fall von einem Modularpolynom
M
(
x
)
und einem beliebig wählbaren Entwurfsabstand [design distance]
d
E
ab.
Einem primitiven BCH-Kode liegt ein primitives Modularpolynom zugrunde.
Bei BCH-Kodes geht man von einem Entwurfsabstand aus, da bei der Kon-
struktion des Generatorpolynoms der tatsächliche Abstand [actual distance]
der Kanalkodewörter auch größer sein kann, d. h.
d
min
≥
d
E
. Der Entwurfsab-
stand widerspiegelt die geforderte Leistungsfähigkeit des aufzubauenden Kodes,
der sich in einer notwendigen Aufeinanderfolge von Nullstellen darstellt.
Zunächst wird für die Bildung des Generatorpolynoms bereits Bekanntes vo-
rausgesetzt (vergleiche mit Abschn. 8.5.1):
1. Auf der Grundlage des primitiven Modularpolynoms
M
(
x
)
vom Grad
k
1
ist
der Erweiterungskörper
GF
(2
)=
{
0
,
1
,α
1
,α
2
, ..., α
2
k
1
−
2
}
definiert.
2. Ein Minimalpolynom
m
i
(
x
)
hat
α
i
,α
2
i
,α
4
i
, ...
als Nullstellen. Damit sind die
Minimalpolynome
m
i
(
x
)
,m
2
i
(
x
)
,m
4
i
(
x
)
, ...
gleich.
3. Das Generatorpolynom
g
(
x
)
hat die
Aufeinanderfolge von
α
μ
,α
μ
+1
,α
μ
+2
, ..., α
μ
+
d
E
−
2
als
Nullstellen
, so auch die Kanalkodewörter
a
i
∈ A
.
k
1
