Cryptography Reference
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durch
g
(
x
)
ohne Rest teilbar, dann ist
b
, und damit
e
,in
A
definiert und es
erfolgt eine eindeutige Zuordnung zu einem Quellenkodewort
b
∗
aus
B
∗
,wobei
b
∗
=
a
∗
. Diese Fehler sind nicht erkennbar (Axiom G1: Abgeschlossenheit).
Alle
Fehlermuster mit einem Gewicht
w
(
e
)
<d
min
sind mit Sicherheit erkennbar.
Zyklische Kodes zeichnen sich ferner dadurch aus, dass sie alle Fehlermuster
mit Sicherheit erkennen, bei denen der Abstand zwischen dem ersten und
dem letzten fehlerhaften Element (einschließlich dieser) kleiner oder gleich
dem Grad
k
des Generatorpolynoms ist.
Fehlermuster dieser Art, die als
Bündelfehler
bezeichnet werden, lassen sich
durch das Fehlerpolynom
e
(
x
)=0
x
n−
1
+0
x
n−
2
+
...
+ 1
x
i−
1
+
...
+ 1
x
i−f
b
+0
x
i−f
b
−
1
+
...
+0
x
0
=
x
i−f
b
(1
x
f
b
−
1
+
u
f
b
−
2
x
f
b
−
2
+
...
+
u
1
x
1
+ 1)
mit
u
f
b
−
1
=
u
0
= 1
und
u
j
∈ GF
(2)
(
j
=1
,
2
, ...,
(
f
b
−
2)
) darstellen.
f
b
beschreibt in diesem Fall den Grad der Bündelfehlererkennung.
Für
f
b
≤
k
ist
e
(
x
)
mit Sicherheit nicht ohne Rest durch
g
(
x
)
teilbar.
Somit ist auch
b/
A
.
Dies gilt unabhängig davon, ob einer der Koe
zienten
u
f
b
−
2
, ..., u
2
,u
1
in
e
(
x
)
oder mehrere oder alle den Wert
1
haben.
∈
Beispiel 8.5.9
Ein Kanalkode wurde mit dem Generatorpolynom
g
(
x
)=
x
3
+
x
+1
erzeugt.
Anstelle der Sendefolge
a
= (1011000)
wurde die Folge
b
= (1110000)
empfangen. Ist dieser Fehler erkennbar?
b
(
x
):
g
(
x
)=(
x
6
+
x
5
+
x
4
):(
x
3
+
x
+1)=
x
3
+
x
2
x
6
+
x
4
+
x
3
x
5
+
x
3
x
5
+
x
3
+
x
2
x
2
=
r
(
x
)
,
r
(
x
)
=0
−→
b/
∈
A.
Begründung:
e
=
a
b
=(0101000)
,d.h.
f
b
=3=
k
und damit erkennbar.
Dieser Kanalkode hat auch ein
d
min
=3
(s. Abschn. 8.5.3) und kann somit
entsprechend Gl. (8.6)
f
e
=2
Fehler mit Sicherheit erkennen.
⊕
Neben den bisher aufgezeigten mit Sicherheit erkennbaren Fehlern sind natür-
lich
alle Fehlermuster erkennbar, die nicht die Struktur eines Kanalkodeworts
haben
, d. h., aus dem Verhältnis von nichterkennbaren Fehlermustern zu allen
Fehlermustern
2
l
l
2
l
+
k
=2
−k
n
=
2
2
