Cryptography Reference
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i a i a i
8 1000 1000101
9 1001 1001110
10 1010 1010011
11 1011 1011000
12 1100 1100010
13 1101 1101001
14 1110 1110100
15 1111 1111111
Das Beispiel 8.5.8 zeigt, dass die Anwendung des Divisionsverfahrens einen
systematischen Kanalkode erzeugt , d. h., durch Wegstreichen der redundan-
ten Stellen erhält man unmittelbar das Quellenkodewort a . Die Koe zienten
u n− 1 ,u n− 2 , ..., u k des Polynoms sind mit dem zu kodierenden Quellenkodewort
a =( u l− 1 u l− 2 ... u 1 u 0 ) identisch.
i a i a i
0 0000 0000000
1 0001 0001011
2 0010 0010110
3 0011 0011101
4 0100 0100111
5 0101 0101100
6 0110 0110001
7 0111 0111010
Die Erzeugung eines systematischen Kanalkodes widerspiegelt die große prak-
tische Bedeutung des Divisionsverfahrens.
Die Beispiele 8.5.7 und 8.5.8 beschreiben das gleiche Kodealphabet. Das kann
auch gar nicht anders sein, denn definitionsgemäß sind die Kodepolynome,
deren Koezienten die Kanalkodewörter repräsentieren, die Menge aller n -
stelligen Polynome, die ohne Rest durch g ( x ) teilbar sind. Die Zuordnung der
2
l Quellenkodewörter aus A zu den Kanalkodewörtern aus A ist jedoch bei der
Kodierung durch Multiplikation anders als bei der Kodierung durch Division.
Selbstverständlich ist diese Zuordnung in jedem Fall für sich eineindeutig. 15
Die zyklische Eigenschaft lässt sich anhand der vollständigen Kodebeschrei-
bung in Beispiel 8.5.8 leicht überprüfen. Bei zyklischer Verschiebung der Ele-
mente eines beliebigen Kodeworts a i entsteht mit a j wieder ein Kodewort.
8.5.2.4 Fehlererkennung
Der Bildung des Kodealphabets wurde zugrundegelegt, dass jedes Kanalkode-
wort a in seiner Polynomdarstellung ein Vielfaches von g ( x ) ist. Diese Eigen-
schaft nutzt man bei der Erkennung von Verfälschungen. Man berechnet ein
sogenanntes Fehlerpolynom (auch Prüf- oder Restpolynom) mit
r ( x )= b ( x ) mod g ( x )
(8.29)
und prüft auf Rest Null. Ist r ( x ) =0 ist b∈ A.
Ist eine gestörte Empfangsfolge b = a ⊕ e in seiner Polynomdarstellung jedoch
15 Die Generatormatrix, erhalten durch zyklische Verschiebung der Koezienten des Gene-
ratorpolynoms, liefert noch eine andere Zuordnung der Quellenkodewörter zu den Kanal-
kodewörtern. Dagegen erzeugt die Generatormatrix mit G =[ I l C ] einen systematischen
Kode, d. h., die Zuordnung entspricht der bei Anwendung des Divisionsverfahrens.
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