Cryptography Reference
In-Depth Information
Die Bildung des Kodealphabets auf Basis der Generatormatrix zeigt, dass es
sich bei den zyklischen Kodes um spezielle Linearkodes handelt, die aber für
diese Kodes unnötig komplex ist. Der Vorteil zyklischer Kodes liegt gerade in
der
vollständigen Beschreibung des Kanalkodes
A
nur durch das Generatorpo-
lynom
g
(
x
)
, Grundlage der folgenden Bildungsverfahren.
8.5.2.2 Multiplikationsverfahren
Ein zyklischer Kode
A
der Länge
n
ist durch ein Generatorpolynom
g
(
x
)
beschrieben. Das Kodepolynom
a
(
x
)
des Kanalkodeworts
a
entsteht aus der
Multiplikation des zu kodierenden Polynoms
a
∗
(
x
)
mit dem Generatorpoly-
nom
g
(
x
)
:
a
(
x
)=
a
∗
(
x
)
g
(
x
)
.
Es ist offensichtlich, dass bei der Multiplikation eines Polynoms
a
∗
(
x
)
vom
Grad kleiner oder gleich (
l −
1
) mit dem Generatorpolynom
g
(
x
)
ein Kodepo-
lynom
a
(
x
)
entsteht, das ein Vielfaches von
g
(
x
)
darstellt.
Beispiel 8.5.7
Ein zyklischer Kode sei durch das Generatorpolynom
g
(
x
)=
m
1
(
x
)=
x
3
+
x
+1
,
wobei
m
1
(
x
)=
M
(
x
)
primitiv ist, definiert. Die Kodeparameter sind damit
n
=2
3
−
1=7
,
k
=
grad
g
(
x
)=3
und
l
=
n
k
=4
.
Um z. B. das Quellenkodewort
a
∗
=(0111)
zu kodieren, wird aus
a
∗
das Po-
lynom
a
∗
(
x
)=0
· x
3
+1
· x
2
+1
· x
1
+1
· x
0
=
x
2
+
x
+1
gebildet und dieses
mit
g
(
x
)
multipliziert:
a
(
x
)=
a
∗
(
x
)
g
(
x
)=(
x
2
+
x
+1)(
x
3
+
x
+1)=
x
5
+
x
4
+1
.
Das entspricht dem Kanalkodewort
a
=(0110001)
.
Für die Menge aller 4stelligen Quellenkodewörter
a
i
−
aus
A
∗
erhält man die
folgenden Kanalkodewörter
a
i
:
i a
i
a
i
0 0000 0000000
1 0001 0001011
2 0010 0010110
3 0011 0011101
4 0100 0101100
5 0101 0100111
6 0110 0111010
7 0111 0110001
i a
i
a
i
8 1000 1011000
9 1001 1010011
10 1010 1001110
11 1011 1000101
12 1100 1110100
13 1101 1111111
14 1110 1100010
15 1111 1101001
Aus dem Beispiel ist erkennbar, dass die Zuordnung der Quellenkodewörter
aus
A
∗
zu den Kanalkodewörtern aus
A
eineindeutig ist, dass aber die Ele-
mente der Quellenkodewörter
a
i
nicht mehr explizit auf definierten Positionen
