Cryptography Reference
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Jedem Element α i
) ist im
Weiteren ein Minimalpolynom m i ( x ) mit den folgenden Eigenschaften zu-
geordnet:
1. Das Minimalpolynom eines beliebigen Elements α i ist irreduzibel und vom
Grad r
aus dem durch M ( x ) definierten Körper GF (2
k 1
k 1 .
2. Zu jedem Element α i existiert genau ein Minimalpolynom m i ( x ) .
3. Das Minimalpolynom des Elements α i ist gleichzeitig das Minimalpolynom
der konjugierten Elemente α 2 1 i , α 2 2 i , ..., α 2 r− 1 i mod p .
4. Ist α i eine Nullstelle des Minimalpolynoms m i ( x ) , dann sind die r Nullstellen
α i , α 2 1 i , α 2 2 i , ..., α 2 r− 1 i sämtliche Nullstellen von m i ( x ) :
m i ( x )=( x − α i
)( x − α 2 1 i
)( x − α 2 2 i
) ... ( x − α 2 r− 1 i
) .
5. Hat das Element α i die Ordnung p i , dann ist das Minimalpolynom m i ( x )
ein Polynom mit der Periode p i , dabei gilt: p i | (2
k 1
1) .
Ein Minimalpolynom ist primitiv, wenn p i =2
1 ist.
Ist das Modularpolynom M ( x ) primitiv, dann hat das Minimalpolynom
k 1
k 1
2
1
bzw. das Element α i die Ordnung p i .
m i ( x ) die Periode p i =
ggT (2
k 1
1 ,i )
6. Das Modularpolynom M ( x ) ist wegen M ( x = α 1 )=0 das Minimalpolynom
m 1 ( x ) des Elements α 1 .
Beispiel 8.5.5
Es sei der Erweiterungskörper GF (2 3 ) aus Beispiel 8.5.4 gegeben. Die Ordnung
des Elements α ist p =2 3 1=7 ,d.h., M ( x ) ist ein primitives Polynom.
Für das Element α 3 ist das Minimalpolynom m 3 ( x ) zu bestimmen.
Lösung:
Zunächst sind entsprechend Gl. (8.28) sämtliche Nullstellen des Minimalpoly-
noms m 3 ( x ) zu ermitteln (genau k 1 Nullstellen, da p
):
Zyklus für i =3: α 3 6 12mod 7 = α 5 10mod 7 = α 3 , ..., d. h., m 3 ( x ) hat die
Nullstellen α 3 6 und α 5 . Damit lässt sich m 3 ( x ) berechnen:
m 3 ( x )=( x + α 3 )( x + α 5 )( x + α 6 ) im GF (2)
=( x 2 + α 5 x + α 3 x + α 8 )( x + α 6 )
= x 3 + x 2 ( α 6 + α 3 + α 5 )+ x ( α 9 + α 11 + α 8 )+ α 14
= x 3 + x +1 .
Das Minimalpolynom m 3 ( x ) des Elements α 3 ist primitiv und gleichzeitig Mi-
nimalpolynom der Elemente α 5 und α 6 ,d.h. m 3 ( x )= m 5 ( x )= m 6 ( x ) .
P
Zur Vollständigkeit der Beschreibung sind abschließend nochmals alle (unglei-
chen) Zyklen des Erweiterungskörpers GF (2 3 ) /M ( x )= x 3 + x 2 +1 aufgeführt:
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