Cryptography Reference
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Kontrollmatrix den Wert „1“ annehmen, in die das fehlerhafte Element eingeht.
Bei denjenigen Zeilen von
H
, in denen das verfälschte Element nicht berück-
sichtigt wird, ist die Modulo-2-Summe unverändert Null. Die Zeilensummen
modulo 2 sind aber die
k
Elemente des Syndroms. Somit ist das Syndrom
exakt die Spalte von
H
, die der Position des fehlerhaften Elements in der
Empfangsfolge entspricht.
⎛
⎞
Beispiel 8.3.11
1101100
1011010
0111001
⎝
⎠
eines
(7
,
4
,
3)
Linearkodes ist gegeben.
Die Matrix
H
3
×
7
=
Eine Verfälschung von
a
i
= (1100011)
in die Empfangsfolge
b
= (0100011)
,
verursacht durch das Fehlerwort
e
= (1000000)
, führt nach Gl. (8.23) (auch
mit den Kontrollgleichungen
s
j
(
j
=1
,
2
,
3)
) zum Syndrom
⎛
⎞
⎛
⎞
s
s
s
3
1
1
0
⎝
⎠
=
⎝
⎠
,
s
=
das der ersten Spalte von
H
entspricht. Es erfolgt eine korrekte Rekonstruktion
in
b
korr
=
a.
Ist das Fehlerwort
e
= (1001000)
dem Kodewort
a
i
überlagert und damit
b
= (0101011)
, erhält man das Syndrom
⎛
⎞
0
0
1
⎝
⎠
,
s
=
das der 7. Spalte von
H
entspricht. Es wird eine Einfachfehlerkorrektur aus-
geführt. Die korrigierte Folge
b
korr
= (0101010)
ist eine Kanalkodefolge, aber
nicht die gesendete.
Fehlerwörter mit
w
(
e
)
>f
k
werden in einem dichtgepackten Kode immer in ein
Kanalkodewort korrigiert, jedoch nicht in das gesendete. Die Rekonstruktion
wird immer falsch ausgeführt.
8.3.6
Aufgaben
Abschn. 8.3.2:
Darstellung von Linearkodes als Gruppen
1. Gegeben ist ein Kodealphabet
A
mit den Kanalkodewörtern
a
1
=(00001)
a
2
=(01110)
a
3
=(00111)
a
4
=(11001)
a
5
=(10010)
.
a) Prüfen Sie, ob dieser Kanalkode die Eigenschaften eines Linearkodes hat!
b) Bestimmen Sie den Minimalabstand
d
min
des Kodes!
a
6
=(11111)
a
7
=(00100)
a
8
=(10101)
