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Orthogonalitätsbeziehung Gl. (8.21). Nur wenn das Ergebnis der Gleichung
s
=
H
k×n
· b
T
(8.23)
den Nullvektor ergibt, ist die Empfangsfolge ein Kanalkodewort (
b
T
ist die als
Spaltenvektor geschriebene Empfangsfolge
b
).
Beispiel 8.3.9
Es ist zu prüfen, ob die Empfangsfolgen
b
1
=(0110101)
und
b
2
=(1011010)
Kanalkodewörter des
(7
,
4
,
3)
Linearkodes sind (Kontrollmatrix s. Beispiel 8.3.7).
Für
b
1
gilt
⎛
⎞
1
0
1
⎛
⎞
⎛
⎞
⎝
⎠
1011100
0111010
1101001
0
0
0
⎝
⎠
⎝
⎠
.
s
=
H
3
×
7
· b
T
1
=
=
Damit ist
b
1
ein Kanalkodewort.
Für
b
2
ist
⎛
⎞
0
0
⎛
⎞
⎛
⎞
⎝
⎠
1011100
0111010
1101001
1
1
0
⎝
⎠
⎝
⎠
.
s
=
H
3
×
7
· b
T
2
=
=
Wegen
s
ist
b
2
kein Kanalkodewort, d. h., die empfangene Binärfolge
b
2
ist während der Übertragung verfälscht worden.
=
0
Auch hier kann die Berechnung wesentlich ezienter erfolgen, wenn aus
H
die
Kontrollgleichungen
s
j
(
j
=1
,
2
, ..., k
)
ausgelesen werden. Diese ergeben sich
auch aus den Bestimmungsgleichungen für
k
j
(
j
=1
,
2
, ..., k
)
mit Einbeziehung
der redundanten Stellen.
Beispiel 8.3.10
n
1
n
2
0
1
l
2
n
3
1
1
l
3
n
4
1
1
l
4
n
5
1
0
k
1
n
6
0
1
k
2
n
7
0
0
1
⎛
⎞
1
0
l
1
⎝
⎠
Gegeben ist die Matrix
H
3
×
7
=
aus Beispiel 8.3.7.
k
3
Kontrollgleichungen für
s
j
(
j
=1
,
2
,
3)
:
1-te Zeile:
s
1
=
l
1
⊕ l
3
⊕ l
4
⊕ k
1
=
n
1
⊕ n
3
⊕ n
4
⊕ n
5
,
2-te Zeile:
s
2
=
l
2
⊕ l
3
⊕ l
4
⊕ k
2
=
n
2
⊕ n
3
⊕ n
4
⊕ n
6
,
3-te Zeile:
s
3
=
l
1
⊕ l
2
⊕ l
4
⊕ k
3
=
n
1
⊕ n
2
⊕ n
4
⊕ n
7
.
Die Überprüfung mit obigen Empfangsfolgen sei dem Leser überlassen.
