Cryptography Reference
In-Depth Information
in ein Kanalkodewort
a
i
=(
l
1
l
2
l
3
l
4
k
1
k
2
k
3
)
erfordert die Berechnung der Kon-
trollelemente
k
1
,k
2
,k
3
aus den Elementen
l
1
,l
2
,l
3
,l
4
.
7
Gemäß Gl. (8.22) lassen
sich dafür unmittelbar aus
H
die Bestimmungsgleichungen für
k
j
(
j
=1
,
2
,
3)
ablesen:
1-te Zeile:
k
1
=
l
1
⊕
l
4
,
2-te Zeile:
k
2
=
l
2
⊕ l
3
⊕ l
4
,
3-te Zeile:
k
3
=
l
1
⊕ l
2
⊕ l
4
.
Für ein gegebenes
a
i
=(0101)
ist damit
a
i
=(0101100)
.
Entsprechend Gl. (8.18) lässt sich
a
i
gleichermaßen auf der Basis von
G
be-
rechnen mit:
l
3
⊕
⎛
⎞
1000101
0100011
0010110
0001111
⎝
⎠
a
i
=(
l
1
l
2
l
3
l
4
)
=(
l
1
l
2
l
3
l
4
l
1
⊕
l
3
⊕
l
4
l
2
⊕
l
3
⊕
l
4
l
1
⊕
l
2
⊕
l
4
)
.
a
i
k
1
k
2
k
3
Der Berechnungsaufwand auf der Basis der Bestimmungsgleichungen ist in
jedem Fall geringer.
8.3.4.3 Minimale HAMMING-Distanz und Matrix
Für den
Aufbau einer Generatormatrix
werden zunächst ausgehend von der
minimalen HAMMING-Distanz
d
min
(vgl. Abschn. 8.1.3) die Anzahl
k
der er-
forderlichen Kontrollstellen nach Gl. (8.12) bestimmt. Eine Einheitsmatrix
I
l
über die Anzahl Informationsstellen gemäß Gl. (8.17) sichert die notwendige
lineare Unabhängigkeit der Basisvektoren.
Aus den Zeilen der Generatormatrix, den Basisvektoren, lassen sich durch Li-
nearkombination alle Kanalkodewörter von
A
darstellen. Definitionsgemäß ist
in jedem Linearkode das Nullwort
(0 0
...
0) =
0
ebenfalls ein Kanalkodewort.
Daraus leitet sich folgender Zusammenhang ab.
Bei einem Linearkode ist die minimale HAMMING-Distanz gleich dem mini-
malen Gewicht der Kodewörter (außer dem Nullwort).
Dieser Zusammenhang lässt sich bzgl.
d
min
leicht nachweisen:
Der Abstand zweier Kanalkodewörter ist gleich dem Gewicht des sich aus der
Verknüpfung beider Kanalkodewörter ergebenden Kanalkodeworts. Ist
a
k
=
0
und
d
(
a
k
,
0
)=
w
(
a
k
)
≥
d
min
,
7
Zur Vereinfachung wurde auch in
a
i
und
a
i
die Bezeichnung der Elemente
u
i
1
,u
i
2
, ...
durch
l
1
,l
2
, ...
und
u
i,l
+1
,u
i,l
+2
, ...
durch
k
1
,k
2
, ...
ersetzt.