Cryptography Reference
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in ein Kanalkodewort a i =( l 1 l 2 l 3 l 4 k 1 k 2 k 3 ) erfordert die Berechnung der Kon-
trollelemente k 1 ,k 2 ,k 3 aus den Elementen l 1 ,l 2 ,l 3 ,l 4 . 7 Gemäß Gl. (8.22) lassen
sich dafür unmittelbar aus H die Bestimmungsgleichungen für k j ( j =1 , 2 , 3)
ablesen:
1-te Zeile: k 1 = l 1
l 4 ,
2-te Zeile: k 2 = l 2 ⊕ l 3 ⊕ l 4 ,
3-te Zeile: k 3 = l 1 ⊕ l 2 ⊕ l 4 .
Für ein gegebenes a i =(0101) ist damit a i =(0101100) .
Entsprechend Gl. (8.18) lässt sich a i gleichermaßen auf der Basis von G be-
rechnen mit:
l 3
1000101
0100011
0010110
0001111
a i =( l 1 l 2 l 3 l 4 )
=( l 1 l 2 l 3 l 4
l 1
l 3
l 4
l 2
l 3
l 4
l 1
l 2
l 4
) .
a i
k 1
k 2
k 3
Der Berechnungsaufwand auf der Basis der Bestimmungsgleichungen ist in
jedem Fall geringer.
8.3.4.3 Minimale HAMMING-Distanz und Matrix
Für den Aufbau einer Generatormatrix werden zunächst ausgehend von der
minimalen HAMMING-Distanz d min (vgl. Abschn. 8.1.3) die Anzahl k der er-
forderlichen Kontrollstellen nach Gl. (8.12) bestimmt. Eine Einheitsmatrix I l
über die Anzahl Informationsstellen gemäß Gl. (8.17) sichert die notwendige
lineare Unabhängigkeit der Basisvektoren.
Aus den Zeilen der Generatormatrix, den Basisvektoren, lassen sich durch Li-
nearkombination alle Kanalkodewörter von A darstellen. Definitionsgemäß ist
in jedem Linearkode das Nullwort (0 0 ... 0) = 0
ebenfalls ein Kanalkodewort.
Daraus leitet sich folgender Zusammenhang ab.
Bei einem Linearkode ist die minimale HAMMING-Distanz gleich dem mini-
malen Gewicht der Kodewörter (außer dem Nullwort).
Dieser Zusammenhang lässt sich bzgl. d min leicht nachweisen:
Der Abstand zweier Kanalkodewörter ist gleich dem Gewicht des sich aus der
Verknüpfung beider Kanalkodewörter ergebenden Kanalkodeworts. Ist
a k = 0
und d ( a k ,
0 )= w ( a k )
d min ,
7 Zur Vereinfachung wurde auch in a i und a i die Bezeichnung der Elemente u i 1 ,u i 2 , ... durch
l 1 ,l 2 , ... und u i,l +1 ,u i,l +2 , ... durch k 1 ,k 2 , ... ersetzt.
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