Cryptography Reference
In-Depth Information
In diesem Falle ist es einfacher, die
k
redundanten Stellen eines Kanalkodeworts
direkt aus den
l
Stellen des zu kodierenden Quellenkodeworts zu berechnen, die
bei einem systematischen Kode unverändert bleiben. Dazu betrachten wir den
Unterraum
A
des Vektorraums
V
, der zu dem Unterraum
A
von
V
orthogonal
ist. Ein zu
A
orthogonaler Unterraum
A
ist dadurch gekennzeichnet, dass das
Skalarprodukt eines beliebigen Vektors aus
A
mit jedem beliebigen Vektor aus
A
Null ist.
Es sei
a
i
=(
u
i
1
u
i
2
... u
in
)
mit
a
i
∈
A
und
a
j
=(
u
j
1
u
j
2
... u
jn
)
mit
a
j
∈
A
.
Dann gilt
a
i
· a
j
=
u
i
1
· u
j
1
⊕ u
i
2
· u
j
2
⊕ ... ⊕ u
in
· u
jn
=0
für alle
i, j .
(8.19)
Wie finden wir nun die Vektoren, die den Unterraum
A
von
V
darstellen?
Ausgangspunkt dafür ist die Generatormatrix
G
, durch die die Vektoren des
Unterraums von
A
festgelegt sind. Liegt diese in kanonischer Staffelform vor
(s. Gl. (8.17)), dann lässt sich der zu
A
orthogonale Unterraum
A
durch die
Matrix
⎛
⎞
c
11
c
21
... c
l
1
100
...
0
c
12
c
22
... c
l
2
010
...
0
.......................
c
1
k
c
2
k
... c
lk
000
...
1
⎝
⎠
H
k×n
=[
C
T
I
n−l
]=[
C
T
I
k
]=
(8.20)
darstellen.
C
T
ist die zu
C
transponierte Matrix,
I
k
ist eine Einheitsmatrix.
Beispiel 8.3.6
Gegeben ist die Generatormatrix eines
(7
,
4)
Linearkodes:
⎛
⎞
1000101
0100011
0010110
0001111
⎝
⎠
=[
I
4
C
]
.
G
4
×
7
=
⎛
⎞
1011100
0111010
1101001
⎝
⎠
.
Daraus ergibt sich die Kontrollmatrix
H
3
×
7
=[
C
T
I
3
]=
Wegen der Orthogonalitätsbedingung nach Gl. (8.19) gilt
H
k×n
=(
H
k×n
·
G
l×n
)
T
G
l×n
·
=
0
,
(8.21)
d. h., das Skalarprodukt einer beliebigen Zeile aus
G
mit jeder Spalte aus
H
T
(d.h.jederZeileaus
H
) ist Null.
