Cryptography Reference
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a
1
⊕ a
2
=
a
4
,
a
1
⊕ a
3
=
a
5
,
a
2
⊕ a
3
=
a
6
,
a
2
⊕ a
5
=
a
7
,
a
5
⊕ a
6
=
a
4
usw.;
Axiom G2: Assoziatives Gesetz
(
a
1
⊕
a
2
)
⊕
a
3
=
a
1
⊕
(
a
2
⊕
a
3
)
,
(
a
4
⊕
a
5
)
⊕
a
3
=
a
4
⊕
(
a
5
⊕
a
3
)
usw.;
Axiom G3: Neutrales Element
a
1
⊕
a
0
=
a
1
,
a
2
⊕
a
0
=
a
2
usw.;
Axiom G4: Inverses Element
a
1
⊕
(
−a
1
)=
a
1
⊕ a
1
=
a
0
,
a
2
⊕ a
2
=
a
0
usw.;
Ferner gilt das Kommutativgesetz:
a
1
⊕ a
2
=
a
2
⊕ a
1
,
a
1
⊕ a
3
=
a
3
⊕ a
1
usw. .
Wegen dieser Eigenschaften bezeichnet man Linearkodes auch als
Gruppen-
kodes
.
8.3.3
Darstellung von Linearkodes durch Vektorräume
Ausgangspunkt für die Beschreibung eines Linearkodes durch einen Vektor-
raum ist die Interpretation eines
n
-stelligen Kanalkodeworts als Vektor. Die
Menge aller
n
-stelligen Vektoren
v
i
=(
u
i
1
u
i
2
... u
in
)
, die aus den Elementen
eines Körpers
K
gebildet werden, stellt unter bestimmten Bedingungen, die in
der Algebra definiert sind, einen
Vektorraum
V
=
{v
i
}
über dem Körper
K
dar.
Für den binären Fall ist
K
=
GF
(2)
und besteht aus den (Körper-)Elementen
0 und 1. Für den Vektorraum
V
gilt
Axiom V1: Abelsche Gruppe bzgl. der Addition.
Die Vektoren
v
i
bilden eine abelsche Gruppe bezüglich der stellenweisen Ad-
dition modulo 2. Nach Abschn. 8.3.2 gilt z. B. für das Gruppenaxiom G1
v
i
⊕ v
j
=
v
k
mit
v
i
,v
j
,v
k
∈ V,
wobei
v
i
=(
u
i
1
u
i
2
... u
in
)
und
v
j
=(
u
j
1
u
j
2
... u
jn
)
v
k
=(
u
i
1
⊕ u
j
1
u
i
2
⊕ u
j
2
... u
in
⊕ u
jn
)
ergibt.
