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S ( x ) sowie L und M definiert wie im obigen Lemma:
L [ h ]=1 / 8 . Die Gleichungen, um die es geht, sind:
x )= S ( x )
erhalten wir für h ( x
·
·
x (3) = S ( x )(2)
S ( x )(3) ,
x (1)
x (3) = S ( x )(1) ,
x (3)
x (5)
x (7) = h ( x )(2)
h ( x )(3)
h ( x )(5) .
Dabei ergibt sich in der letzten Gleichung x (3) aus x (3) , x (5)
x (7) aus x (1)
x (3) ,
h ( x )(2) ⊕ h ( x )(3) aus S ( x )(2) ⊕ S ( x )(3) und h ( x )(5) aus S ( x )(1) .
Für Bitpermutationen (siehe Abbildung 4.2, (b)) gibt es ein entsprechendes Lemma,
das jedoch einen trivialen Beweis hat.
a
b
Lemma 4.3.3. Es sei f : { 0 , 1 }
→{ 0 , 1 }
eine Funktion, ( I,J ) ein Indexpaar mit
a
b
I
[ a ] , J
[ b ] und β
∈P [ b ] . Es sei zusätzlich h :
{
0 , 1
}
→{
0 , 1
}
definiert durch
h ( x )= f ( x ) β
a .
für jedes x
∈{
0 , 1
}
Für J = ( j ) | j ∈ J}
gilt
J I [ h ]= I [ f ] .
(4.3.10)
Analoges gilt für die Funktion h ,diedurch h ( x )= f ( x β ) für jedes x ∈{ 0 , 1 }
a definie rt
ist.
Das Lemma formalisiert das, was man erwarten würde: Transformiert man die Indizes
der Variablen auf der rechten Seite einer linearen Abhängigkeit gemäß der angewendeten
Bitpermutation, so verändert sich die Ausrichtung nicht.
Eine weitere leicht zu berücksichtigende Operation ist das Addieren eines konstanten
Bitvektors (Abbildung 4.2, (c)).
Lemma 4.3.4. Es sei f :
a
b
{
0 , 1
}
→{
0 , 1
}
eine Funktion, ( I,J ) ein Indexpaar mit
b . Es sei zusätzlich h : { 0 , 1 }
a
b
I ⊆ [ a ] , J ⊆ [ b ] und k ∈{ 0 , 1 }
→{ 0 , 1 }
definiert durch
a .
h ( x )= f ( x )
k für jedes x
∈{
0 , 1
}
Dann gilt
I [ h ]= I [ f ] , falls j∈J k ( j )=0 ,
(4.3.11)
I [ f ] , sonst.
a und
Analoges gilt für die Funktion h ,diedurch h ( x )= f ( x
k ) für jedes x
∈{
0 , 1
}
ein k ∈{ 0 , 1 }
a definiert ist.
Beweis. Wir betrachten hier lediglich den Fall j∈J k ( j )=1 ;derFall j∈J k ( j )=0
kann analog gezeigt werden. Wir erhalten:
I [ h ]=Exp X I [ h ]
Lemma 4.3.1
=Exp X I [ f ⊕ k ]
Definition von h
siehe (4.3.9) und Fall
j∈J
=Exp
X I [ f ]
k ( j )=1
 
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