Cryptography Reference
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Aus
c
erhalten wir unmittelbar
d
. Die Umkehrung gilt auch. Nehmen wir dazu
d
an.
Dann erhalten wir für jedes
x ∈ X
P
X
und jedes
y ∈ Y
:
P
(
y
)=
x
∈X
P
X
P
(
x
)
x
)
Eigenschaft der Wahrscheinlichkeitsverteilung
sowie Definition von
X
P
X
·
P
(
y
|
=
x
∈X
P
X
P
(
x
)
·
P
(
y
|
x
)
nach Annahme
x
)
x
∈X
P
X
P
(
x
)
=
P
(
y
|
durch Ausklammern
=
P
(
y
|
x
)
Eigenschaft von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
sowie Definition von
X
P
X
.
Die Aussagen (3.4.12) und (3.4.13) liefern interessante alternative Charakterisierungen
der informationstheoretischen Sicherheit. Sie besagen nämlich, dass ein KSV informati-
onstheoretisch sicher ist, wenn die Verteilung der Chiffretexte unabhängig von der Vertei-
lung der gesendeten Klartext ist. Das ist intuitiv zu erwarten, denn würde die Verteilung
der Chiffretexte vom gesendeten Klartext abhängen, so würde Eva aus dem beobachteten
Chiffretext Informationen über den gesendeten Klartext gewinnen können.
Man beachte zudem, dass (3.4.13) eine Eigenschaft beschreibt, die unabhängig von
der Klartextverteilung ist, denn
P
(
y
|
x
)=
P
(
k
)
für
x
∈
X
P
X
,
k∈K
:
e
(
x,k
)=
y
und auf der rechten Seite dieser Gleichung spielt die Klartextverteilung keine Rolle. Die
Klartextverteilung bestimmt lediglich, ob ein Klartext aktiv ist oder nicht. Damit haben
wir eine Charakterisierung der informationstheoretischen Sicherheit, die unabhängig von
der Klartextverteilung ist. Insbesondere gilt:
Folgerung 3.4.1.
Es sei
V
=
S
[
P
K
]
ein Kryptosystem mit Schlüsselverteilung und
P
X
eine Klartextverteilung. Dann sind äquivalent:
a
. Das Kryptosystem
V
ist informationstheoretisch sicher bzgl.
P
X
.
b
. Das Kryptosystem
ist informationstheoretisch sicher bzgl. jeder Klartextverteilu
ng
P
X
, deren aktive Klartexte auch aktive Klartexte von
P
X
sind.
Diese Erkenntnis motiviert die folgende Festlegung.
V
Definition 3.4.3 (informationstheoretisch sicher). Ein Kryptosystem mit Schlüsselver-
teilung
[
P
K
]
heißt
informationstheoretisch sicher (provides perfect secrecy)
,wenn
es bzgl. jeder Klartextverteilung informationstheoretisch sicher ist.
V
=
S
Wir definieren
P
x
(
y
)=
P
(
k
)
für
y
∈
Y
.
(3.4.14)
k∈K
:
e
(
x,k
)=
y
