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heißt Kryptosystem mit Schlüsselverteilung (KSV), wenn es die folgenden Eigenschaften
besitzt.
1. Das Tupel ( X,K,Y,e,d ) ist ein Kryptosystem, das sogenannte zugrunde liegende
Kryptosystem .
2. P K ist eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf dem Schlüsselraum, die sogenannte
Schlüsselverteilung, die
P K ( k ) > 0 für k
K
(3.4.2)
erfüllt.
Statt ( X,K,Y,e,d,P K ) schreiben wir häufig
S
[ P K ] ,mit
S
=( X,K,Y,e,d ) .
Bedingung (3.4.2) ist analog zu (3.2.4): Würde ein Schlüssel mit Wahrscheinlichkeit 0
gewählt werden, hätte er keine Bewandtnis. Deshalb verbieten wir ihn von vornherein.
Es sei nun
V = S [ P K ] ein Kryptosystem mit Schlüsselverteilung, wie oben. Falls zu-
sätzlich P X eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf dem Klartextraum ist, eine sogenannte
Klartextverteilung, so ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion P auf X × K × Y
gegeben durch
P (( x, k, y )) = P X ( x ) P K ( k ) ,
falls e ( x, k )= y ,
(3.4.3)
0 ,
sonst.
Dabei beschreibt P (( x, k, y )) , aus der Sicht von Eva, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in
Szenarium 1 Alice den Klartext x auswählt, um ihn an Bob zu senden, und der Schlüssel
k zum Chiffrieren und Dechiffrieren verwendet wird. Der Chiffretext zu x und k ist damit
e ( x, k ) . Für einen Chiffretext y mit y = e ( x, k ) ist deshalb P (( x, k, y )) = 0 ,dadieses
(Elementar-)ereignis nicht auftreten kann. Die realistische Vorstellung, die der Definition
von P zugrunde liegt, ist, dass Klartext und Schlüssel unabhängig voneinander gewählt
werden. Aus diesem Grund ist die Wahrscheinlichkeit P (( x, k, e ( x, k )) für das Auftreten
des Ereignisses ( x, k, e ( x, k )) definiert als das Produkt von P X ( x ) und P K ( k ) .
Wir schreiben häufig P ( x ) statt P ( E x ) mit E x =
{
( x, k, y )
|
y
Y,k
K
}
und
P ( x, y ) statt P ( E x,y ) mit E x,y =
. Mit anderen Worten, » x «und
» x, y « sind Abkürzungen für die Ereignisse E x bzw. E x,y . Gleiches gilt für P ( k ) , P ( y ) ,
P ( x, k, y ) , P ( x
{
( x, k, y )
|
k
K
}
|
y ) , etc. Zum Beispiel steht P ( x
|
y ) für die bedingte Wahrscheinlichkeit
P ( E x |
E y ) .
Man sieht leicht, dass P ( x )= P X ( x ) und P ( k )= P K ( k ) gelten. Aus (3.4.3) erhalten
wir trivialerweise für jeden Chiffretext y 0 ∈ Y :
P ( y 0 )=
P ( x ) P ( k ) .
(3.4.4)
x,k : y 0 = e ( x,k )
Wenn eine Klartextverteilung P X gegeben ist, heißt ein Klartext aktiv, wenn P X ( x ) > 0
gilt; sonst heißt er passiv . Ein Chiffretext y heißt aktiv, wenn es einen aktiven Klartext x
und einen Schlüssel k gibt, für die e ( x, k )= y gilt; sonst heißt der Chiffretext passiv .Die
Mengen der aktiven Klartexte und Chiffretexte werden mit X P X bzw. Y P X ,V bezeichnet.
In den Indizes kommt zum Ausdruck, dass bei einem Klartext allein die Klartextvertei-
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