Cryptography Reference
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heißt
Kryptosystem mit Schlüsselverteilung (KSV),
wenn es die folgenden Eigenschaften
besitzt.
1. Das Tupel
(
X,K,Y,e,d
)
ist ein Kryptosystem, das sogenannte
zugrunde liegende
Kryptosystem
.
2.
P
K
ist eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf dem Schlüsselraum, die sogenannte
Schlüsselverteilung,
die
P
K
(
k
)
>
0
für
k
∈
K
(3.4.2)
erfüllt.
Statt
(
X,K,Y,e,d,P
K
)
schreiben wir häufig
S
[
P
K
]
,mit
S
=(
X,K,Y,e,d
)
.
Bedingung (3.4.2) ist analog zu (3.2.4): Würde ein Schlüssel mit Wahrscheinlichkeit
0
gewählt werden, hätte er keine Bewandtnis. Deshalb verbieten wir ihn von vornherein.
Es sei nun
V
=
S
[
P
K
]
ein Kryptosystem mit Schlüsselverteilung, wie oben. Falls zu-
sätzlich
P
X
eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf dem Klartextraum ist, eine sogenannte
Klartextverteilung,
so ist die
gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion
P
auf
X × K × Y
gegeben durch
P
((
x, k, y
)) =
P
X
(
x
)
P
K
(
k
)
,
falls
e
(
x, k
)=
y
,
(3.4.3)
0
,
sonst.
Dabei beschreibt
P
((
x, k, y
))
, aus der Sicht von Eva, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in
Szenarium 1 Alice den Klartext
x
auswählt, um ihn an Bob zu senden, und der Schlüssel
k
zum Chiffrieren und Dechiffrieren verwendet wird. Der Chiffretext zu
x
und
k
ist damit
e
(
x, k
)
. Für einen Chiffretext
y
mit
y
=
e
(
x, k
)
ist deshalb
P
((
x, k, y
)) = 0
,dadieses
(Elementar-)ereignis nicht auftreten kann. Die realistische Vorstellung, die der Definition
von
P
zugrunde liegt, ist, dass Klartext und Schlüssel unabhängig voneinander gewählt
werden. Aus diesem Grund ist die Wahrscheinlichkeit
P
((
x, k, e
(
x, k
))
für das Auftreten
des Ereignisses
(
x, k, e
(
x, k
))
definiert als das Produkt von
P
X
(
x
)
und
P
K
(
k
)
.
Wir schreiben häufig
P
(
x
)
statt
P
(
E
x
)
mit
E
x
=
{
(
x, k, y
)
|
y
∈
Y,k
∈
K
}
und
P
(
x, y
)
statt
P
(
E
x,y
)
mit
E
x,y
=
. Mit anderen Worten, »
x
«und
»
x, y
« sind Abkürzungen für die Ereignisse
E
x
bzw.
E
x,y
. Gleiches gilt für
P
(
k
)
,
P
(
y
)
,
P
(
x, k, y
)
,
P
(
x
{
(
x, k, y
)
|
k
∈
K
}
|
y
)
, etc. Zum Beispiel steht
P
(
x
|
y
)
für die bedingte Wahrscheinlichkeit
P
(
E
x
|
E
y
)
.
Man sieht leicht, dass
P
(
x
)=
P
X
(
x
)
und
P
(
k
)=
P
K
(
k
)
gelten. Aus (3.4.3) erhalten
wir trivialerweise für jeden Chiffretext
y
0
∈ Y
:
P
(
y
0
)=
P
(
x
)
P
(
k
)
.
(3.4.4)
x,k
:
y
0
=
e
(
x,k
)
Wenn eine Klartextverteilung
P
X
gegeben ist, heißt ein Klartext
aktiv,
wenn
P
X
(
x
)
>
0
gilt; sonst heißt er
passiv
. Ein Chiffretext
y
heißt
aktiv,
wenn es einen aktiven Klartext
x
und einen Schlüssel
k
gibt, für die
e
(
x, k
)=
y
gilt; sonst heißt der Chiffretext
passiv
.Die
Mengen der aktiven Klartexte und Chiffretexte werden mit
X
P
X
bzw.
Y
P
X
,V
bezeichnet.
In den Indizes kommt zum Ausdruck, dass bei einem Klartext allein die Klartextvertei-