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R
3;1
W
2.
bd
ac
/ D 2.
a
x
sin
.®=2/
a
z
sin
.®=2/
cos
.®=2/
a
y
sin
.®=2//
D
a
x
a
z
2
sin
.2®=2/
a
y
2
cos
.®=2/
sin
.®=2/
D
a
x
a
z
.1
cos
®/
a
y
sin
®
Die vollständige Rotationsmatrix sieht dann folgendermaßen aus, wobei die 4. Di-
mension für die Matrizenrechnung gleich ergänzt ist:
Mit der Rotationsachse
{a}
ist bisher nur ihre Richtung gegeben, aber noch keine
Festlegung getroffen, wo die Achse in der Szene platziert ist. Obige Darstellung gilt
für den Fall, dass
{a}
durch den Ursprung geht. Liegt die Achse jedoch außerhalb
des Ursprungs, muss die Szene einschließlich Achse in den Ursprung verschoben
und nach der Drehung wieder zurücktransformiert werden wie in Abschn.
7.2.6
.
Entweder verschiebt man einen Punkt T
auf der Geraden durch
{a}
in den
Ursprung, oder macht eine Parallelverschiebung der Geraden
{a}
mit den Kompo-
nenten ihres Abstandsvektors
{s}
vom Ursprung (Abschn.
11.3.2
).
Die Vor- und Nachteile von Quaternionen in der Computergrafik lassen sich wie
folgt zusammenfassen:
.
t
x
;
t
y
;
t
z
/
Mithilfe von Quaternionen wird nur
eine
Rotationsmatrix aufgebaut, sodass
Gimbal Lock
gar nicht eintreten kann, und man erreicht überdies eine bessere
numerische Stabilität. Außerdem sind mehrere Rotationen nacheinander leicht
durchzuführen, indem die Quaternionen miteinander multipliziert werden und
erst mit dem Ergebnis wieder
[R
®
]
aufgebaut wird.
Solange Grafikkarten keine explizite Quaternionenunterstützung anbieten, ma-
chen auch Quaternionen in Software bei der momentanen Sachlage wenig Sinn,
weil stets wieder Matrizen generiert werden müssen. Deshalb wird auf Details
zur Quaternionenmathematik hier nicht eingegangen, sondern auf die Ausarbei-
tung von Koch (2008) verwiesen.
Eine weitere Möglichkeit, Rotationen um eine beliebige Achse mit nur einer Ma-
trix - ohne den Umweg über Quaternionen - zu beschreiben, wird im nächsten
Abschnitt vorgestellt.
