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5.1.1 Kurven und gekrümmte Flächen
Die eingangs schon erwähnte „Elektronische Straakung von Flugzeug-Systemma-
ßen“ war eine neue Herausforderung in der damals noch jungen Computerei. Da-
hinter verbarg sich nichts Geringeres, als einen harmonischen Verlauf der Außen-
konturen von Rumpf und Flügel mit gegebenen Randbedingungen elektronisch zu
berechnen. Hierzu ist zwingend ein Werkzeug nötig, mit demman beliebige Kurven
und gekrümmte Flächen beschreiben kann.
Wir begannen zunächst mit Polynomen zu experimentieren. Durchläuft die Kur-
ve alle Stützstellen, handelt es sich um Interpolation. Werden die Stützstellen durch
die Kurve jedoch nur angenähert, handelt es sich um Approximation. Bei n
C 1
Wertepaaren x
i
,y
i
(i
D 0; 1; 2; : : : ;
n) ergibt sich ein Interpolationspolynom n-ten
Grades mit dem Ansatz:
y
.
x
/ D
a
0
C
a
1
x
C
a
2
x
2
CC
a
n
x
n
Hierin sind die a
0
,a
1
,a
2
,...,a
n
die n
C 1
unbekannten Polynomkoeffizienten. Um
diese zu ermitteln sind folglich n
C
1 Gleichungen erforderlich, die man für jedes
Wertepaar anschreiben kann; in Matrix-Darstellung also:
Die Ermittlung der unbekannten Polynomkoeffizienten
{a}
erfolgte entweder mit
der Cramer'schen Regel oder gleich durch Inversion der Koeffizienten-Matrix. Bei-
des erfordert eine Menge Rechenzeit und liefert höchst unbefriedigende Ergebnisse.
Dies ist nicht verwunderlich, wenn man sich den Aufbau der Koeffizienten-Matrix
etwas genauer anschaut: Wegen der hohen Potenzen treten schnell Rundungsfehler
auf und außerdem neigen die Polynome zu Oszillationen zwischen den Stützstellen.
Auch sind sie gegenüber geringfügigen Änderungen sehr empfindlich. Veränderung
an einer Stützstelle ändert die ganze Kurve, was ihrer Verwendung nicht förderlich
ist.
Etwa zeitgleich mit unseren Bemühungen wurde in der französischen Autoin-
dustrie an dem gleichen Problem gearbeitet. Unabhängig voneinander entwickelten
Pierre Bézier (Renault) und Paul de Casteljau (Citroën) die Theorie der
Bézier-
Spline
, mit deren Hilfe wurde es leichter, Kurven und gekrümmte Flächen zu be-
schreiben. Herr Casteljau ist Namensgeber eines gleichnamigen Algorithmus. Ab-
bildung
5.1
deutet die Möglichkeiten an, die sich mit der neuen Technik eröffnen.
Der Begriff Spline ist vergleichbar mit unserem „straaken“. Damit wird die
Arbeit auf dem Schnürboden bezeichnet, durch manuelles Verschieben biegsamer
Leisten eine möglichst glatte Kurve für einen (z. B. Schiffs-)Körper zu finden.
