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P
1
liegen soll. Das Gleiche gilt analog für die Richtung
f
P
3
P
1
g
und Faktor
œ
.Der
Schnittpunkt S liegt also nur dann innerhalb des Dreiecks, wenn gilt:
C œ 1
und
0 1
und
0 œ 1
Im obigen Beispiel mit
D2;5
und
œ DC2;5
liegt der Schnittpunkt mit der
Dreiecks
ebene
außerhalb des Dreiecks.
Zur Lösung des Gleichungssystems ist nicht unbedingt die Inverse vonnöten,
sondern es kann auch mit der Cramer'schen Regel berechnet werden. Hier ent-
spricht v
3
D
P
2
P
1
,v
2
D
P
3
P
1
und s
D
M
P
1
, wobei alle Variablen
3-dimensionale Vektoren sind (die bei der Berechnung ohnehin gebraucht werden):
Noch effizienter kommt man zu einem Ergebnis, wenn man die Determinanten der
Matrizen durch eine Kombination von Vektor- und Skalarprodukt schreibt
det
.
a
;
b
;
c
/ D .
a
b
/
c
D.
a
c
/
b
und effizient umformt um möglichst wenig verschiedene Faktoren berechnen zu
müssen:
mit p
D
d
v
2
und q
D
s
v
3
. Mit den Daten des oben durchgerechneten Beispiels
ergeben sich natürlich die gleichen Werte:
Auch hier liegt der Schnittpunkt nur dann innerhalb des Dreiecks, wenn gilt:
C
œ 1
,sowie
0 1
und
0 œ 1
.
11.3.7 Winkel zwischen Gerade und Ebene
zwischen einer Geraden
f
a
g
und dem Normalenvektor
f
n
g
einer
Ebene bestimmt man einfach mit dem Skalarprodukt wie in Abschn.
11.1.5
an-
gegeben. Da
f
n
g
senkrecht auf der Ebene steht, ergibt sich der gesuchte Winkel zu
' D 90
ı
Den Winkel
' D .
n
/ f
a
g
.
, bei normierten Vektoren also zu sin
