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Abb. 11.11 Schnittpunkt mit
Dreiecksebene
Hier sind zwei Sonderfälle zu beachten, bei denen es keinen Schnittpunkt gibt:
d z D 0;
die Gerade liegt parallel zur XY-Ebene
M z D 0;
die XY-Ebene liegt in der Geraden :
Für t <0 wird die XY-Ebene von der negativen Verlängerung der Geraden ge-
schnitten. Für t >0 schneidet die Gerade wie definiert und ihre Schnittkoordinaten
werden aus den beiden bisher nicht verwendeten Gleichungen ermittelt.
Liegt eine Ebene parallel zur XY-Ebene jedoch um ˙ z e verschoben, ergibt sich
t D .˙ z e M z /= d z .Fürd z D 0 liegt die Gerade parallel zur Ebene.
Im Normalfall wird der Schnittpunkt S einer Geraden mit einer beliebigen Ebene
gesucht. In einer größeren Szenerie wird eine Gerade (ein Strahl) nahezu jede Ebene
schneiden. Ausgenommen die wenigen Fälle, bei der die Ebenennormale senkrecht
auf der Geraden steht. Deren Skalarprodukt ist dann D 0 und die Ebene liegt parallel
zur Geraden. Das Kernproblem liegt allerdings in der Frage, ob der Schnittpunkt mit
der Dreiecks ebene innerhalb des Dreiecks - der Facette - liegt (Abb. 11.11 ).
Va r i an t e 1
Wir verwenden die Ebenengleichung durch den Knoten P 1 . x ; y ; z /
A .
x P 1x / C B .
y P 1y / C C .
z P 1z / D 0
Mit der Geradengleichung wie zuvor:
f M gC t f d g
mit
f M g. M x ; M y ; M z /
f d g. d x ; d y ; d z /
Wenn . x ; y ; z / der Schnittpunkt ist, gilt dieser auch für die Geradenkoordinaten;
diese in die Ebenengleichung eingesetzt
A . M x C t d x P 1x / C B . M y C t d y P 1y / C C . M z C t d z P 1z / D 0
oder auch
n x . M x C t d x P 1x / C n y . M y C t d y P 1y / C n z . M z C t d z P 1z / D 0
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