Mathematisches Rüstzeug - Computergrafik fur Ingenieure - page 323

Beispiel:

Das zugehörige Gleichungssystem ist:

x /œ S 3 S D1

y / 2 œ S C 2 S D 0

z / œ S 2 S D3

Aus der zweiten Gleichung folgt œ S D S . Dies in die dritte Gleichung einge-

setzt liefert . Die nicht verwendete erste Gleichung

wird mit diesen Werten nicht erfüllt und folglich haben die beiden Geraden kei-
nen Schnittpunkt, sondern sind windschief.
Löst man die ersten beiden Gleichungen nach

S D 1 und damit œ S D 1

œ S und S auf, erhält man Infor-
mationen über die Projektion beider Geraden auf die X-Y-Ebene. Selbst wenn
sich die projizierten Geraden schneiden, ist das kein Hinweis, dass sie sich auch
in natura schneiden. Erst wenn die berechneten Werte auch die dritte Gleichung
erfüllen, schneiden sich die Geraden und die Distanz D verschwindet. Lassen
sich nicht zwei von den drei Gleichungen auflösen, dann gibt es keinen Schnitt-
punkt.
Wie groß ist ggf. ihr Abstand?
Der Abstand von zwei windschiefen Geraden ist die kürzest mögliche Verbin-
dung beider Geraden, wobei die Verbindungsgerade auf beiden Geraden senk-
recht steht. Ist der Abstand D 0 so schneiden sich beide Geraden; siehe oben.
Die Reihenfolge ist also erst Schnittpunkt , dann ggf. Abstand (Abb. 11.9 ).
Zur Berechnung des Abstands legt man z. B. durch die Gerade g 2 eine Ebene und
dreht diese um g 2 ; bis sie parallel zur Geraden g 1 liegt. Jeder beliebige Punkt
auf g 1 hat nun den gleichen Abstand zu dieser Ebene. Von dieser kennen wir
bereits zwei Richtungen: g 2 in der Ebene und g 1 parallel dazu, und damit ist
auch die Ebene selbst definiert als Vektorprodukt f s gDf g 1 gf g 2 g .Diesedrei
Vektoren bilden wieder ein Rechtssystem in der Reihenfolge g 1 , g 2 , s .Umden
Abstand berechnen zu können, ist f s g noch zu normieren gemäß f s gDf s g=j s j .
Der Abstand D - sein zugehöriger Vektor - ist die Projektion des Differenzvek-
tors f h gDf P 2 gf P 1 g auf das normierte f s g und ergibt sich als Skalarprodukt
zu

D D . h / f s g=j s j
Das Vorzeichen von D ist hier nicht weiter von Belang. Der ganze Ablauf ist wie
beim Abstand Punkt-Gerade nahezu identisch; siehe Abschn. 11.3.2 .Mitden