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11.3.3 Schnitte zweier Kanten
Diese Aufgabe ist zu lösen für zwei Facetten auf der Projektionsebene, wobei jede
Kante der einen mit jeder Kante der anderen Facette auf Schnitte zu untersuchen
ist.
Die Gleichung einer Geraden
g
0
in der Ebene mit den Punkten A
0
und A
1
lautet
in Komponenten:
x
D
A
x0
C .
A
x1
A
x0
/
s
D
A
x0
C
a
x
s
y
D
A
y0
C .
A
y1
A
y0
/
s
D
A
y0
C
a
y
s
Hierin legt der Parameter
s
die Länge der Geraden fest und es ist
s
D 0 !
A
0
s
D 1 !
A
1
s
>1!
über A
1
hinaus
;
s
<0!
in Gegenrichtung über A
0
hinaus
:
Die Gleichung einer zweiten Geraden
g
1
sei:
x
D
B
x0
C .
B
x1
B
x0
/
t
D
B
x0
C
b
x
t
y
D
B
y0
C .
B
y1
B
y0
/
t
D
B
y0
C
b
y
t
Die Koordinaten des Schnittpunkts dieser beiden Geraden sind x und y (sofern die
Geraden nicht parallel sind). Damit haben wir zwei Gleichungen mit den beiden
Unbekannten
s
und
t
:
A
x0
C
a
x
s
D
B
x0
C
b
x
t
A
y0
C
a
y
s
D
B
y0
C
b
y
t
Hieraus die Geradenparameter:
s
D
b
x
.
B
y0
A
y0
/
b
y
.
B
x0
A
x0
/=.
a
y
b
x
b
y
a
x
/
t
D
a
x
.
B
y0
A
y0
/
a
y
.
B
x0
A
x0
/=.
a
y
b
x
b
y
a
x
/
In Abb.
11.7
schneiden sich zwar die Geraden g
0
mit g
1
, aber wirklich von Interesse
ist nur der Fall, dass sich die Facettenkanten A
0
!
A
1
mit B
0
!
B
1
schneiden,
das ist nicht der Fall. Folgende Konstellationen sind zu unterscheiden, wobei beide
Bedingungen erfüllt sein müssen:
Die Kanten schneiden sich wenn
0<
s
<1
und
0<
t
<1
.
Kontakt eines Knotens mit einer Kante z. B.:
0<
s
<1
und t
D 0j1
.
Kein Schnitt s
<0j
s
>1
oder t
<0j
t
>1
