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Verzichtet man auf die Anbindung an einen bestimmten Punkt, beispielsweise P
0
,
dann gibt es beliebig viele parallele Geraden
{g}
, beispielsweise in einer Parallel-
projektion.
11.3.2 Abstand Punkt-Gerade
Unter „Abstand“ ist immer der senkrechte Abstand zur Gerade
j
Ebene zu verstehen.
Im 2-dimensionalen ist die Senkrechte zu einer Geraden leicht anzugeben, ist doch
die wesentliche Bedingung in der Ebene durch diese selbst gegeben. Im Raum gibt
es dagegen beliebig viele Senkrechte auf einer Geraden, die allesamt in
der
Ebene
liegen, deren Normalenvektor die Gerade ist und deren zugehörige Ebene durch den
Punkt
P
geht (Abb.
11.6
).
Auf die Gerade
{g}
wird ein Einheitsvektor
{n}
gelegt aus
f
n
gDf
g
g=j
g
j
und
ein beliebiger Hilfspunkt H. Das Vektorprodukt
f
s
gDf
h
gf
n
g
liefert mit
j
s
j
die
Fläche des skizzierten Parallelogramms. Andrerseits ist diese Fläche schlicht Länge
Höhe, hier wegen
j
n
jD1
folglich e
Dj
s
jD
p
.
s
x
C
s
y
C
s
z
/
.
Beispiel:
Gelegentlich ist der Abstand einer Geraden vom Ursprung gefragt. Der Punkt P
hat dann die Koordinaten P
.0;0;0/
und der Hilfsvektor
{h}
ist einfach
f
H
g
.Der
Abstand ergibt sich aus
f
s
gDf
n
gf
H
g
und schließlich wieder e
Dj
s
jD
p
.
x
C
s
y
C
s
z
/
. Mit den Komponenten von
{s}
lässt sich die Gerade in den Ursprung
verschieben.
2
Abb. 11.6
Abstand Punkt-Gerade
