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Die Projektionskoordinaten
X
V
,
Y
V
erhalten wir wie im Beispiel oben beim Über-
gang von Global nach View durch Vormultiplikation mit
[T
GV
]
und einer der
Projektionsmatrizen. Das führt immer zu einer Transformationsmatrix mit folgen-
dem Aufbau:
Die Winkel zur Horizontalen haben wir bereits im Abschn.
8.2.1.3
bei den axono-
metrischen Projektionen berechnet. Die Globalachsen
XYZ
G
haben Komponenten
in den Projektionsachsen
X
V
und
Y
V
; die zugehörigenWinkel sind leicht abzulesen.
Bleiben wir bei der Projektion auf die
YZ
-Ebene:
p
! ' D 45
ı
I
3 ! ' D 30
ı
X
G
W
tan
.j
t
2
;
x
=
t
1
;
x
j/ D 1
bei tan
.j
t
2
;
x
=
t
1
;
x
j/1=
! “ D 0
ı
Y
G
W
tan
.0=1/ D 0
!” D 90
ı
Z
G
W
tan
.j1=0j/ D1
Die Matrixelemente
t
i
;
k
legen nicht nur die Richtungen fest, sondern auch die Sei-
tenverhältnisse. An den Transformationsmatrizen wird deutlich, dass jeweils zwei
Achsen unverkürzt bleiben. Läuft die Ac
h
se
X
G
unter 45
ı
und wären die
t
i
;
k
D 1
,
dann ergibt das eine Seitenlänge von
p
für
X
G
, die folglich mit
2
p
2
wieder
auf die Länge 1 reduziert werden muss. Bei der Kavalierprojektion ist die schräge
Länge in Tiefenrichtung gemäß Definition nochmals zu halbieren (Abb.
8.24
).
Bei 30
ı
-Richtung stehen für die beiden unbe
ka
nnten Komponenten
t
1
;
x
und
t
2
;
x
2 Gleichungen zur Verfügung:
t
2
;
x
=
t
1
;
x
2
p
3
und
t
1
;
x
C
t
2
;
x
D 1=
D 1
, was zu den
angegebenen Werten führt.
8.2.2.3 Allgemeine schiefe Parallelprojektionen
Bei Projektionen auf die Koordinatenebenen steht der zugehörige Normalenvektor
senkrecht auf der Projektionsfläche und zeigt in Richtung einer Achse des Global-
systems. Für die Auswahl genügt eine Angabe: entweder Projektionsrichtung
D
Globalachse oder Projektionsebene. Für eine allgemeine schiefe Parallelprojektion
wird beides gebraucht, wobei die Projektionsebene durch ihren Normalenvektor
f
n
g
definiert ist.
Zuerst empfiehlt es sich, die Gültigkeit von
f
n
g
an der Projektionsrichtung
f
v
g
zu
prüfen. Dazu berechnen wir das Skalarprodukt, das den Cosinus des eingeschlosse-
nen Winkels zwischen beiden Vektoren liefert:
cos
® D .
v
/ f
n
g
t
.Beim
Skalarprodukt ist darauf zu achten, dass die Vektoren zur Länge
D 1
normiert sind.
Hierin wird
(v)
als Zeilenvektor von
f
v
g
verwendet, gleichbedeutend mit
f
v
g
