Initial Value Problems - Numerical Methods in Engineering with MATLAB - page 256

The analytical solutionyields

31
32 e − 4(0 . 2)

1
4 (0

1
8 (0

1
32 =

2) 2 y (0 . 2) = + . − . 2) + 0 . 4515

so that the actualerroris0 . 4515 − 0 . 4539 =− 0 . 0024.

EXAMPLE 7.2
Solve

y =− 1 y − y (0) 0 . x y (0) = 0 = 1

= = .

from x 0to2with the Taylor series method of order four using h 0 25.

y the equivalent first-order equations and initialcon-

Solution With y 1 = y and y 2 =

ditions are

y 1
y 2

0
1

y 2

y = = y (0) =

− 0 . 1 y 2 − x

Repeateddifferentiation of the differentialequations yields

y 2 − 0 . 1 y 2 − x

y =

=

1 y 2 − − 0 . 1 0 . 01 y 2 + 0 . 1 x − 1

0

1 y 2 − − 0 . 1 . 01 y 2 + 0 . 1 x − 1

y = =

0 . 01 y 2 + 0 . 1 − 0 . 001 y 2 − 0 . 01 x + 0 . 1

0

01 y 2 + . 0 . 1 − 0 . 001 y 2 − 0 . 01 x + 0 . 1

y (4)

= =

001 y 2 − − 0 . 0 . 01 0 . 0001 y 2 + 0 . 001 x − 0 . 01

Thus the derivative array requiredby taylor is

⎡
⎣

⎤
⎦

− .

1 y 2 − y 2 0 x

− 0 . 1 y 2 − x 0 . 01 y 2 + 0 . 1 x − 1

d =

0 . 01 y 2 + 0 . 1 x − 1 − 0 . 001 y 2 − 0 . 01 x + 0 . 1

− 0 . 001 y 2 − 0 . 01 x + 0 . 1 0 . 0001 y 2 + 0 . 001 x − 0 . 01

which iscomputedby

_ functiond=fex7 2(x,y)

% Derivatives used in Example 7.2

d = zeros(4,2);
d(1,1) = y(2);
d(1,2) = -0.1*y(2) - x;
d(2,1) = d(1,2);
d(2,2) = 0.01*y(2) + 0.1*x -1;