Periodic Incidence in a Discrete-Time SIS Epidemic Model - Mathematical Methods and Models in Biomedicine - page 404

≤ ( ) ≤ ∈{ , , ,...}

where 0 . Mathematical theorems on the

qualitative dynamics equivalence of autonomous and nonautonomous systems, such
as System ( 5 )andEq.( 7 ), have been established by Best et al. [ 6 ], Franke and
Yakubu [ 18 ]andZhao[ 32 ].
On the closed interval

I t N ∞ for all t 0 1 2

[ ,

N ∞ ] 0 ,let

1 β t I

N ∞

.

F N ∞ , t ( I , β t )= γ ( 1 − σ ) I + − φ ( N ∞ − I )

When the total population is asymptotically constant, then the set of sequences
generated by

I ( t + 1 )= F N ∞ , t ( I ( t ) , β t ) (8)

is the set of density sequences generated by the infective population. When
F N ∞ , t

( ·, β )

has a unique positive fixed point and a unique critical point, we denote
them by I N ∞ , t and C N ∞ , t

t

,

respectively.

( )

Lemma 4.1. F N ∞ , t I satisfies the following conditions.

≤ ( ) ≤

N ∞ ,

( ) <

(a) If 0 I 0 then F N ∞ , t I N ∞ .

F N ∞ , t ( and F N ∞ , t (

− σ ) − β t φ ( (b) 0 )= γ (( 1 0 )) N ∞ ) > − 1 .

(c) F N ∞ , t ( I ) is concave down on [ 0 , N ∞ ] .

F N ∞ , t (

(d) F N ∞ , t ( I ) < 0 ) Ion ( 0 , N ∞ ] .

(e) If F N ∞ , t (

0 ) > 1 , then F N ∞ , t has a unique positive fixed point I N ∞ , t in [ 0 , N ∞ ] .

Proof. (a) Since

1 β

t I
N ∞

F N ∞ , t ( I )= γ ( 1 − σ ) I + − φ ( N ∞ − I )

≤ γ (( 1 − σ ) I +( N ∞ − I ))

≤ γ ( I + N ∞ − I )= γ N ∞ < N ∞ .

(b)

1 β

N ∞ φ β

t I
N ∞

− β

t I
N ∞

t

F N ∞ , t ( I )= γ ( 1 − σ ) − − φ ( N ∞ − I )

)= γ ( ) F N ∞ , t (

)) − β t φ ( 0 1 − σ ) − ( 1 − φ ( 0 0

= γ ( ) .

− σ ) − β t φ ( 1 0

1 β t N ∞

N ∞ N ∞ φ β t N ∞

− β t F N ∞ , t ( N ∞ )= γ ( 1 − σ ) − − φ ( N ∞ − N ∞ )

N ∞

1 β t N ∞

N ∞

= γ ( 1 − σ ) − − φ > − γ > − 1 .