Biomedical Engineering Reference
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the
xyz
coordinate axes with a
y
-
x
-
z
rotation sequence. First,
xyz
is rotated about the
y
-axis
(top), transforming the
ijk
unit vectors into the
i
0
j
0
k
0
unit vectors, via the equations
i
0
¼
cos y
y
i
sin y
y
k
ð
4
:
21
Þ
j
0
¼
j
ð
4
:
22
Þ
k
0
¼
sin y
y
i
þ
cos y
y
k
ð
4
:
23
Þ
This new primed coordinate system is then rotated about the
x
-axis (Figure 4.9, middle),
giving the double-primed system
i
00
¼
i
0
ð
4
:
24
Þ
j
00
¼
cos y
x
j
0
þ
sin y
x
k
0
ð
4
:
25
Þ
k
00
¼
sin y
x
j
0
þ
cos y
x
k
0
ð
4
:
26
Þ
Finally, the double-primed system is rotated about the
-axis, giving the triple-primed
z
system
i
000
¼
i
00
þ
j
00
cos y
z
sin y
z
ð
4
:
27
Þ
j
000
¼
sin y
z
i
00
þ
cos y
z
j
00
ð
4
:
28
Þ
k
000
¼
k
00
ð
4
:
29
Þ
The three rotations may be written in matrix form to directly translate
ijk
into
i
000
j
000
k
000
:
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
i
000
j
000
k
000
cos y
z
sin y
z
0
1
0
0
cos y
y
sin y
y
0 1 0
sin y
y
0 y
y
0
i
j
k
4
5
¼
4
5
4
5
4
5
4
5
ð
sin y
z
cos y
z
0
0
cos y
x
sin y
x
4
:
30
Þ
0
0
1
0
sin y
x
cos y
x
2
4
3
5
2
4
3
5
2
4
3
5
cos y
y
0
sin y
y
cos y
z
sin y
z
cos y
x
sin y
z
sin y
x
i
j
k
¼
0
1
0
sin y
z
cos y
z
cos y
x
cos y
z
sin y
x
sin y
y
0
cos y
y
0
sin y
x
cos y
x
2
3
2
3
2
3
i
000
j
000
k
000
cosy
z
cosy
y
þ
siny
z
siny
x
siny
y
siny
z
cosy
x
cosy
z
siny
y
þ
siny
z
siny
x
cosy
y
i
j
k
4
5
¼
4
5
4
5
siny
z
cosy
y
þ
cosy
z
siny
x
siny
y
cosy
z
cosy
x
siny
z
siny
y
þ
cosy
z
siny
x
cosy
y
cosy
x
siny
y
siny
x
cosy
x
cosy
y
ð
4
:
31
Þ
If the angles of coordinate system rotation (y
x
, y
y
, y
z
) are known, coordinates in the
xyz
system can be transformed into the
x
000
y
000
z
000
system. Alternatively, if both the unprimed
and triple-primed coordinates are known, the angles may be computed as follows:
k
000
j
¼
sin y
x
ð
4
:
32
Þ
k
000
y
x
¼
arcsin
ð
j
Þ
