Civil Engineering Reference
In-Depth Information
Gathering all real terms in one matrix and all imaginary terms in another the following is
obtained:
ª
º
N
N
§
N
·
j
§
·
j
§
·
j
bc
bc
b
D
D
§
·
«
¦
jj
¦
jj
¦
j
»
2
C
¨
¸
C
C
¨
¸
DC
¨
1
¸
′
−
−
′
−
¨
¸
D
ˆ
D
L
ˆ
D
ˆ
«
B
¨
22
¸
B
¨
22
¸
¨
22
¸
»
Vc
1
Vc
1
Vc
1
+
©
¹
+
+
j
1
©
¹
j
1
©
¹
©
j
1
¹
=
ij
=
ij
=
ij
«
»
Dy
Dz
D
θ
-
«
»
()
N
j
§
·
N
§
·
§
N
·
bc
j
bc
j
b
q
t
D
°
§
·
«
»
ae
¦
jj
¦
jj
¦
j
2
C
¨
¸
C
′
C
¨
¸
BC
′
¨
1
¸
=−
+
−
−
®
¨
¸
«
»
L
ˆ
L
D
ˆ
L
ˆ
2
¨
22
¸
B
¨
22
¸
¨
22
¸
ρ
V
Vc
1
Vc
1
Vc
1
+
©
¹
+
+
°
«
j
=
1
©
ij
¹
j
=
1
©
ij
¹
©
j ij
=
1
¹
»
Ly
Lz
L
θ
¯
2
«
»
N
N
N
§
·
§
·
§
·
j
bc
j
bc
j
b
«
»
jj
jj
j
¦
¦
2
¦
2
BC
¨
¸
BC
′
¨
¸
B C
′
¨
1
¸
−
−
«
»
M
M
M
ˆ
ˆ
ˆ
¨
22
¸
¨
22
¸
¨
22
¸
Vc
+
1
Vc
+
1
Vc
+
1
«
©
¹
©
¹
»
j
=
1
ij
j
=
1
ij
©
j
=
1
ij
¹
¬
My
Mz
¼
M
θ
§
ª
º ·
N
j
N
N
ˆ
§
¨
·
§
·
§
2
·
b
j
b
j
b c V
D
C
B
D
CC
§
·
¨
«
j
j
j
j
i
» ¸
¦
¦
¦
2
1
−
¸
′
−
¨
1
−
¸
C
′
¨
¸
¨
¸
¨
«
D
ˆ
DL
ˆ
D
ˆ
22
22
¨
22
¸
»
¸
¨
¸
B
¨
¸
Vc
+
1
©
¹
Vc
+
1
Vc
+
1
j
ij
1
j
1
j
1
©
¹
¨
«
©
=
¹
©
=
ij
¹
=
ij
»
¸
D
Dy
Dz
θ
¨
«
» ¸ ½
N
N
N
j
ˆ
§
·
§
·
§
2
·
j
b
j
b
b c V
i
V
¨
«
D
§
·
» ¸
¾
j
j
j
j
i
¦
¦
¦
it
i
ω
−
21
C
¨
−
¸
C
′
+
C
¨
1
−
¸
BC
′
¨
¸
a
e
¨
«
¨
¸
»
¸
°
L
L
D
L
ˆ
ˆ
ˆ
¨
ˆ
¸
¨
22
¸
B
¨
22
¸
22
Vc
+
1
Vc
+
1
Vc
+
1
©
¹
¨
«
j
1
j
1
j
1
©
¹
»
¸
¿
i
©
=
ij
¹
©
=
ij
¹
=
ij
L
Ly
Lz
θ
¨
«
» ¸
N
N
N
ˆ
¨
§
·
§
·
§
2
·
«
j
b
j
b
j
b c V
» ¸
¦
j
¦
j
2
¦
j
j
i
¨
2
BC
¨
1
¸
BC
′
¨
1
¸
B C
′
¨
¸
«
−
−
»
¸
M
M
M
ˆ
ˆ
ˆ
¨
22
¸
¨
22
¸
¨
22
¸
¨
Vc
+
1
Vc
+
1
Vc
+
1
¸
«
»
©
j
=
1
ij
¹
©
j
=
1
ij
¹
j
=
1
©
ij
¹
¹
¬
M
¼
©
My
Mz
θ
(D.19)
This is a frequency domain application of the indicial functions, and therefore, it must
render an identical solution to that which is obtained by the use of aerodynamic
T
it
()
it
ω
ω
t aaae
ª
º
i
e
i
derivatives. Introducing a harmonic input
r
=
⋅
= ⋅
a
into
¬
¼
y
z
θ
Eq. D.1, and using
a
C
and
a
K
from Eq. D.3, then a frequency domain solution
containing the aerodynamic derivatives is given by
§
*
*
*
*
*
*
·
ª
PPP PPP
º
ª
º
4
6
3
1
5
2
()
¨
¸
«
»
«
»
t
q
1
ˆ
i
H HH HHHe
ae
*
*
*
*
*
*
it
i
ω
¨
¸
=
+
a
(D.20)
«
»
«
»
6
4
3
5
1
2
1
2
ˆ
2
2
¨
V
V
¸
«
»
«
»
2
ρ
V
i
i
*
*
2*
*
*
2*
¨
BA
BA
B A
BA
BA
B A
¸
«
»
«
»
¬
6
4
3
¼
¬
5
1
2
¼
©
¹
Eqs. D.19 and D.20 must be identical, and thus, the following is obtained
()
ˆ
*
4
½
N
j
PV
§
·
bc
1
i
jj
°
¦
¨
¸
=−
ˆ
ˆ
¨
22
¸
2
D
°
Vc
1
V
+
j
ij
1
2
C
©
=
¹
i
°
°
¾
°
Dy
D
B
PV
(D.21)
()
ˆ
*
1
§
N
j
·
b
1
i
j
¦
¨
¸
1
=+
°
ˆ
ˆ
D
¨
22
¸
Vc
+
1
V
°
2
C
©
j
ij
=
1
¹
i
Dy
D
°
¿
B
