Digital Signal Processing Reference
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M8.2
Führen sie die Faltung im Programmbeispiel 8-1 auch mit der Barker-Codefolge der
Länge 13 durch
b
[
n
] = {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}
und stellen Sie das Ergebnis grafisch dar. Beachten Sie die Größenverhältnisse zwi-
schen dem Maximum und den anderen Werten.
Weshalb sind Barker-Codefolgen für Synchronisationsaufgaben interessant? Erklä-
ren Sie anhand der Resultate die Besonderheit von Barker-Codefolgen.
8.3
Differenzengleichung 1. Ordnung
8.3.1
Goertzel-Algorithmus 1. Ordnung
Als einführendes Beispiel für die Anwendung einer Differenzengleichung wird der
Goertzel-
Algorithmus
betrachtet, der z. B. in der Telefonie zur Erkennung der Töne beim Mehrfrequenz-
wahlverfahren eingesetzt wird, siehe auch Abschnitt 6.2.
Die Aufgabe beim Mehrfrequenzwahlverfahren besteht im Grunde darin, die Signalenergien
bzgl. aller 8 zugelassenen Frequenzen zu bestimmen und zu vergleichen, um so das gesendete
Tonpaar zu erkennen. Eine einfache praktische Näherung liefert der Goertzel-Algorithmus
[Goe58] mit der effizienten Berechnung der jeweils spektral nächstliegenden DFT-Koeffi-
zienten (3.1).
Die Herleitung des Goertzel-Algorithmus geschieht in zwei geschickt gewählten Schritten.
Im ersten wird die Berechnung des DFT-Koeffizienten als Faltungssumme dargestellt. Weil der
komplexe Faktor
w
kN
ist, kann (3.1) umgeformt werden.
1
N
1
N
1
¦
¦
kNn
(
)
k
N
Xk
[]
xn w
[]
xn w
[]
(8.7)
N
n
0
n
0
Der Vergleich mit der Faltungssumme (8.1) zeigt prinzipielle Übereinstimmung dann, wenn im
Argument der Exponentialfunktion der Term
N
n
als Differenz der Laufindizes des Faltungs-
ergebnisses und der Faltungssumme verstanden werden kann.
n
xl w
knl
(
)
¦
yn
[]
xn
[]
hn
[]
[]
(8.8)
N
l
0
Das rechtsseitige Signal
x
[
n
] wird mit dem rechtsseitigen Hilfssignal
h
[
n
]
n
N
ª
º
(8.9)
hn
[]
w
un
[]
¬
¼
zu
y
[
n
] gefaltet.
Wird die Folge
x
[
n
] mit
x
[
N
] = 0 ergänzt, gilt für
n
=
N
in (8.8) die Übereinstimmung mit dem
gesuchten DFT-Koeffizienten
yN
[]
X k
[]
(8.10)
