Digital Signal Processing Reference
In-Depth Information
τ
=
t
1
−
t
2
,weget
∞
∞
h
∗
(
R
Y
(
)
=
h
(
)
)
R
X
(
−
+
)
d
τ
1
d
τ
2
τ
τ
1
τ
2
τ
τ
1
τ
2
(2.114)
−∞
−∞
which can be rearranged to reveal that
∞
∞
h
∗
(
R
Y
(
τ
)
=
τ
2
)
h
(
τ
1
)
R
X
(
τ
+
τ
2
−
τ
1
)
d
τ
1
d
τ
2
−∞
−∞
∞
τ
2
)
h
τ
2
)
d
τ
2
h
∗
(
=
(
t
)
∗
R
X
(
t
+
−∞
h
∗
(
=
R
X
(
τ
)
∗
h
(
−
τ
)
∗
τ
)
(2.115)
This result can also be presented in the frequency domain, in terms of
the power spectral density or power spectrum
S
Y
(
f
)
, defined as the Fourier
transform of the autocorrelation function of
Y
(
t
)
, i.e.,
∞
S
Y
(
f
)
=
R
Y
(
τ
)
exp
(
−
j
2π
f
τ
)
d
τ
(2.116)
−∞
Employing (2.115) and (2.116), we reach the conclusion that
∞
∞
∞
h
∗
(
S
Y
(
f
)
=
h
(
τ
1
)
τ
2
)
R
X
(
τ
−
τ
1
+
τ
2
)
exp
(
−
j
2π
f
τ
)
d
τ
d
τ
1
d
τ
2
−∞
−∞
−∞
(2.117)
Changing variables
t
=
τ
+
τ
1
−
τ
2
and
dt
=
d
τ leads to
∞
∞
h
∗
(
S
Y
(
f
)
=
h
(
τ
1
)
exp
(
j
2π
f
τ
1
)
d
τ
1
τ
2
)
exp
(
−
j
2π
f
τ
2
)
d
τ
2
−∞
−∞
∞
×
R
X
(
t
)
exp
(
−
j
2π
ft
)
dt
−∞
H
∗
(
=
f
)
H
(
f
)
S
X
(
f
)
H
2
S
X
=
(
f
)
(
f
)
(2.118)
