Stochastic Volatility Models with Jumps - Computational Methods for Quantitative Finance - page 230

1
2 tr

[ Q (z)D 2 f(z) ]+ b(z) ∇ f(z) ( A f )(z) =

f(z + ς s (z, ζ )) − f(z) − ς s (z, ζ ) ∇ f(z) ν( d ζ)

+

| ζ | <c

f(z

f(z) ν( d ζ).

+ + −

ς l (z, ζ )) (15.11)

| ζ |≥ c

− 0 (

Then , the process M t := f(Z t ) A f )(Z s ) d s is a martingale with respect to the

filtration of Z .

Proof By the Itô formula (see, e.g. [132]), we have

d d

1
2

∂ z i f(Z t − ) d Z t + Z i ,Z j

c
t

d f(Z t ) = ∂ z i z j f(Z t − ) d

i = 1 i,j = 1

d

)Z t + f(Z t ) − f(Z t − ) − ∂ z i f(Z t −

i = 1

d n

Σ ij (Z t − ) d W t

b(Z t − ) ∇ = f(Z t − ) d t + ∂ x i f(Z t − )

i = 1 j = 1

d

1
2

(D 2 f) ij (Z t − ) + Q ij (Z t − ) d t

i,j = 1

ς s (Z t − ,ζ) ∇ f(Z t − )J( d t, d ζ) +

| ζ | <c

,ζ) ∇

+ ς l (Z t − f(Z t − )J ( d t, d ζ)

| ζ |≥ c

f(Z t − + ς s (Z t − ,ζ)) − f(Z t − ) − ς s (Z t − ,ζ) ∇ f(Z t − )

+

| ζ | <c

× J( d t, d ζ)

f(Z t − +

f(Z t − ) ς l (Z t − ,ζ) ∇

+ ς l (Z t − ,ζ)) − f(Z t − ) −

| ζ |≥ c

× J( d t, d ζ)

d n

) d W t

= ( A f )(Z t − ) + ∂ z i f(Z t − ) Σ ij (Z t −

i = 1 j = 1

f(Z t − +

) J( d t, d ζ)

+ ς s (Z t − ,ζ)) − f(Z t −

| ζ | <c

f(Z t − + ς l (Z t − ,ζ)) − f(Z t − ) J( d t, d ζ)

+

| ζ |≥ c

d M t d M t d M t . = ( A f )(Z t − ) + + +