Digital Signal Processing Reference
In-Depth Information
c
3
w
3
,
A
w
3
,
A
w
3
,
A
−
2
e
2
e
h
e
g
e
↓
↓
↓
↓
−
2
e
h
e
↓
−
−
c
2
w
2
,
A
w
2
,
A
w
2
,
A
−
2
e
2
e
h
e
g
e
↓
2
e
2
e
−
h
e
g
e
2
e
h
e
↓
g
e
2
e
−
↓
−
−
↓
c
1
c
1
−
2
e
2
o
2
e
2
o
↓
2
e
2
e
h
e
g
e
−
↓
h
o
g
e
2
e
↓
−
↓
c
3
w
3
,
B
w
3
,
B
w
3
,
B
2
e
−
↓
−
2
o
2
o
↓
h
o
g
o
w
1
,
A
↓
↓
↓
↓
↓
−
2
e
h
e
↓
g
o
−
w
1
,
B
−
−
↓
c
2
w
2
,
B
w
2
,
B
w
2
,
B
−
2
o
2
o
−
h
o
g
o
↓
h
o
c
1
c
1
2
o
2
o
h
o
g
o
2
e
2
o
2
e
2
o
−
2
e
h
e
↓
↓
g
e
2
e
−
−
−
↓
−
↓
h
o
−
↓
2
o
2
o
2
o
h
o
g
o
↓
↓
w
1
,
C
↓
−
g
e
2
e
↓
g
o
c
3
w
3
,
C
w
3
,
C
w
3
,
C
−
−
−
2
e
2
e
↓
h
e
g
e
w
1
,
D
↓
↓
↓
↓
↓
−
2
o
h
o
↓
c
0
−
−
w
1
,
A
2
e
2
o
2
e
2
o
c
2
w
2
,
C
w
2
,
C
w
2
,
C
↓
−
2
e
2
e
h
e
g
e
↓
−
2
e
2
e
h
o
h
e
g
e
w
1
,
B
−
2
o
h
o
↓
↓
g
o
2
o
−
↓
−
−
↓
2
e
↓
−
w
1
,
A
↓
2
e
2
e
−
g
o
h
e
g
e
↓
w
1
,
B
w
1
,
C
−
g
o
2
o
↓
↓
c
3
w
3
,
D
w
3
,
D
w
3
,
D
−
−
−
g
o
↓
h
o
g
o
2
o
2
o
↓
↓
↓
↓
2
e
2
o
2
e
2
o
−
↓
2
o
h
o
↓
−
h
o
−
−
w
1
,
D
c
2
w
2
,
D
w
2
,
D
w
2
,
D
↓
−
h
o
g
o
2
o
2
o
↓
2
o
↓
2
o
2
o
h
o
g
o
w
1
,
C
−
2
o
h
o
↓
↓
g
o
2
o
−
↓
g
o
−
−
−
↓
−
w
1
,
D
↓
2
o
2
o
h
o
g
o
↓
g
o
−
2
o
↓
−
↓
j =1
j =2
j =3
Figure 3.4. First three levels of the 2-D dual-tree complex wavelet transform.
c
3
w
3
,
A
w
3
,
A
w
3
,
A
c
3
w
2
,
A
w
2
,
A
w
2
,
A
2
e
2
e
−
2
e
2
e
−
↑
↑
↑
↑
e
↑
↑
↑
↑
e
h
h
−
2
e
−
↑
2
e
↑
e
e
h
h
+
+
e
−
e
2
e
2
o
−
↑
c
1
c
1
−
o
+
h
+
2
e
2
e
−
+
2
e
2
e
−
e
e
↑
h
h
2
e
−
e
↑
2
e
−
e
↑
2
e
↑
+
+
+
e
−
e
2
e
2
o
−
w
1
,
A
↑
o
−
+
w
1
,
B
↑
−
c
3
w
3
,
B
w
3
,
B
w
3
,
B
2
o
2
o
c
2
w
2
,
B
w
2
,
B
w
2
,
B
c
2
w
2
,
C
w
2
,
C
w
2
,
C
2
o
2
o
−
−
o
↑
↑
↑
↑
g
h
o
↑
↑
↑
↑
o
h
h
c
1
c
1
+
2
e
2
o
↑
2
e
−
2
e
−
↑
↑
e
e
h
h
+
+
−
o
−
−
o
h
+
↑
+
+
2
o
2
o
2
o
−
2
o
2
o
−
↑
o
o
h
h
w
1
,
C
2
e
2
o
+
↑
2
e
−
e
2
e
−
e
↑
↑
g
o
+
+
−
−
o
−
o
+
w
1
,
D
↑
c
0
+
2
e
2
o
w
1
,
A
↑
2
e
2
e
−
c
3
w
3
,
C
w
3
,
C
w
3
,
C
2
e
2
e
−
↑
↑
↑
↑
e
↑
↑
↑
↑
g
h
e
h
−
o
h
2
o
−
+
2
o
−
↑
w
1
,
B
↑
o
o
h
↑
h
+
+
−
e
−
2
e
↑
+
w
1
,
A
2
e
2
o
↑
+
+
2
e
2
e
−
2
e
2
e
−
e
g
h
e
h
−
o
+
2
o
−
o
w
1
,
B
w
1
,
C
2
o
↑
g
↑
−
o
↑
+
+
−
e
−
o
−
+
2
e
2
o
↑
−
o
w
1
,
D
+
h
c
2
w
2
,
D
w
2
,
D
w
2
,
D
−
2
o
2
o
↑
2
o
2
o
−
↑
↑
↑
↑
o
c
3
w
3
,
D
w
3
,
D
w
3
,
D
↑
↑
↑
↑
g
h
o
h
2
o
−
↑
2
o
↑
2
o
−
o
w
1
,
C
↑
o
h
h
+
2
e
2
o
+
+
↑
−
o
−
−
o
w
1
,
D
+
+
+
2
o
2
o
↑
−
2
o
2
o
−
o
g
h
o
h
2
o
o
2
o
↑
−
−
o
↑
+
+
−
o
−
j =3
j =2
j =1
Figure 3.5. Reconstruction from the 2-D dual-tree complex wavelet transform; ↑ 2
e
and
↑ 2
o
are even- and odd-sample zero-insertion, respectively. Note that a vector
w
that
has been separated into its even samples
w
e
= [
w
]
↓2
e
and odd samples
w
o
= [
w
]
↓2
o
is
recovered by
w
= [
w
e
]
↑2
e
+[
w
o
]
↑2
o
.
