From Riemann Manifolds to Riemann Manifolds - Map Projections: Cartographic Information Systems - page 71

A 1 ,A 1 ,A 2 r ).

Box 1.31 (UPS of E versus UPS of S

Left conformal coordinates Riglit conformal coordinates

(isometric, isothermal): (isometric, isothermal):

E 2 1 − E

1+ E E/ 2

2 A 1
√ 1

P = ×

p =2 r tan 4 −

2 cos λ,

−

φ

× tan 4 −

2 1+ E sin Φ E sin Φ E/ 2 cos Λ,

(1.224)

Φ

1 −

E 2 1 − E

1+ E E/ 2

2 A 1

Q = ×

√ 1

q =2 r tan 4 −

2 sin λ,

−

φ

× tan 4 −

2 1+ E sin Φ E sin Φ E/ 2 sin Λ.

Φ

1 −

Left matrix of the metric G l : Right matrix of the metric G r :

G l = A 1 cos 2 Φ

.

r 2 cos 2 φ 0
0 r 2 =G r .

0

(1.225)

E 2 sin 2 Φ

1 −

(1 −E 2 ) 2
(1 −E 2 sin 2 Φ ) 3

A 1

0

Left Jacobi matrix: Right Jacobi matrix:
P = f ( Φ )cos Λ,Q = f ( Φ )sin Λ,p = g ( φ )cos λ,q = g ( φ )sin λ,
f ( Φ ):=

E 2 1 − E

1+ E E/ 2

2 A 1
√ 1

×

g ( φ ):=2 r tan 4 −

2 ,

−

Φ

tan 4 −

2 1+ E sin Φ 1 −E sin Φ E/ 2 ,

φ

×

(1.226)

P Λ = − f ( Φ )sin Λ, p λ = − g ( φ )sin λ,

Q Λ =+ f ( Φ )cos Λ, q λ =+ g ( φ )cos λ,

P Φ =+ f ( Φ )cos Λ, p φ =+ g ( φ )cos λ,

Q Φ =+ f ( Φ )sin Λ, q φ =+ g ( φ )sin λ,

E 2
1 −E 2 sin 2 Φ

f ( Φ ) g ( φ )

1 −

f ( Φ )= −

cos Φ .

g ( φ )= −

cos φ .

“Trigonometry” :

:tan π

= 1

2 tan π

φ = 1

cos( 2 −

tan x

2 = 1 − cos x

φ
2

− φ )

4 − 2 −

=

sin( 2 −

sin x φ )

1 − sin φ

cos φ

. (1.227)

“Differential calculus” :

1

y =tan x, y =

cos 2 x =1+tan 2 x :

d φ tan π

= 1+tan 2 ( π

2 ) =

d φ

2

1
2

φ

4 −

−

4 −

1+tan 2 1

φ =

1+ (1 =

2 π

sin φ ) 2
cos 2 φ

1
2

1
2

−

= −

2 −−

− (1.228)