Gauss Surface Normal Coordinates in Geometry and Gravity - Map Projections: Cartographic Information Systems - page 838

−a 2 x 3 − a 2 b 2 }{x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 } ]

Computed Grobner basis for the minimum distance mapping problem:
a 2 b 2 x 4 +(2 a 6 b 4 +2 a 4 b 6 ) x 4 +( a 6 b 2 +4 a 4 b 4 + a 2 b 6 a 4 b 2 X 2 −

a 4 b 2 Y 2 a 2 b 4 Z 2 ) x 4 + − −

(J.58)

+(2 a 4 b 2 +2 a 2 b 4 2 a 2 b 2 X 2 2 a 2 b 2 Y 2 2 a 2 b 2 Z 2 ) x 4 +( a 2 b 2 b 2 X 2

− − − −

a 2 Z 2 ) ,
( a 4 Z − 2 a 2 b 2 Z + b 4 Z ) x 3 − a 6 b 6 x 4 − (2 a 6 b 4 + a 4 b 6 ) x 4 −

b 2 Y 2

− −

(J.59)

( a 6 b 2 +2 a 4 b 4 ( a 4 b 2 X 2 ( x 4 b 2 Y 2 a 2 b 4 Z 2 ) x 4 ( x 2 b 4 + a 2 b 2 X 2 − − − − −

+ a 2 b 2 Y 2 +2 a 2 b 2 Z 2 b 4 Z 2 ,

−

(2 b 2 Z + b 4 x 4 Z a 2 Z ) x 3 + a 4 b 6 x 4 +(2 a 4 b 4 + a 2 b 6 ) x 4 +

−

(J.60)

+( a 4 b 2 +2 a 2 b 4 − a 2 b 2 X 2 − a 2 b 2 Y 2 − b 4 Z 2 ) x 4 + a 2 b 2 − b 2 X 2 − b 2 Y 2

− 2 b 2 Z 2 ,
(1 + a 2 x 4 ) x 3 − Z, (J.61)

( a 4 2 a 2 b 2 + b 4 ) x 3 +(2 a 2 b 2 Z 2 b 4 Z ) x 3 − a 4 b 6 x 4 −

− −

(J.62)

2 a 4 b 4 x 4 − a 4 b 2 + a 2 b 2 X 2 + a 2 b 2 Y 2 + b 4 Z 2 ,

−

(2 b 2 − a 2 + b 4 x 4 ) x 3 − a 2 Zx 3 + a 4 b 6 x 4 +(2 a 4 b 4 +2 a 2 b 6 ) x 4 +

(J.63)

+( a 4 b 2 +4 a 2 b 4 a 2 b 2 X 2 a 2 b 2 Y 2 b 4 Z 2 ) x 4 − − −

+2 a 2 b 2 2 b 2 X 2 2 bY 2 2 b 2 Z 2 ,

− − −

( X 2 + Y 2 ) x 2 + a 2 b 4 Yx 4 + Y ( a 2 b 2 b 2 x 3 − b 2 Zx 3 ) x 4

−

+ Yx 3 − Y 3 − YZx 3 − YX 2 , (J.64)

(1 + b 2 x 4 ) x 2

− Y, (J.65)

( a 2 x 3 b 2 x 3 + b 2 Z ) x 2 a 2 x 3 Y,

− − (J.66)

Yx 1 − Xx 2) , (J.67)

Xx 1 + a 2 b 4 x 4 +( a 2 b 2 + b 2 x 3 − b 2 Zx 3 ) x 4 + x 3 − X 2 Y 2 ,

Zx 3 + Yx 2 − − (J.68)

(1 + b 2 x 4 ) x 1 − X, (J.69)

( a 2 x 3 − b 2 x 3 + b 2 Z ) x 1 − a 2 Xx 3 ,

(J.70)

x 1 + a 2 b 4 x 4 +(2 a 2 b 2 + b 2 x 3 − b 3 Zx 3 ) x 4 +2 x 3 − 2 Zx 3 + x 2 − X 2 Y 2 .

− (J.71)

Let us adopt the World Geodetic Datum 2000 with the data “semi-major” axis A 1 =
6 , 378 , 136 . 602m and “semi-major axis” A 2 =6 , 356 , 751 . 860m of the International Reference Ellip-
soid ( Grafarend and Ardalan 1999 ). Here, we take advantage of given Cartesian coordinates of