Mercator Projection and Polycylindric Projection - Map Projections: Cartographic Information Systems - page 810

such that
c 0 =1 ,

c 1 = ( Φ N − Φ S ) 1+ 3

64 E 4

1+ 15

16 E 2 E 2 (cos Φ N sin Φ N − 4 E 2 + 45

3
4

− cos Φ S cos Φ S ) −

cos Φ S sin 3 Φ S ) /

15

32 E 4 (cos Φ N sin 3 Φ N

− −

sin Φ N + 2

5 E 4 sin 5 Φ S +O( E 6 ) ,

3 E 2 sin 3 Φ N + 3

2 3

5 E 4 sin 5 Φ N − sin Φ S − 3 E 2 sin 3 Φ S −

(I.10)

c 2 = (1 + E 2 + E 4 )ln tan π

/ tan π

4 + Φ N 4 + Φ S

E 2 (1 + E 2 )(sin Φ N − − sin Φ S ) −

2 2

sin 3 Φ S ) /

1

3 E 3 (sin 3 Φ N

− −

sin Φ N + 2

5 E 4 sin 5 Φ S +O( E 6 ) 3 E 2 sin 3 Φ N + 3

2 3

5 E 4 sin 5 Φ N 3 E 2 sin 3 Φ S

− sin Φ S − −

hold .

End of Lemma.

Constitutional elements of the left Airy distortion energy are

J l A = 1 ( Λ S − 1) 2 d S = 1

2
S

Λ S d S + 1 ( Λ S − 2 Λ S +1)d S =1 − Λ S d S,

(I.11)

S S S

S S S S

1

Λ S d S = ρ

E 2 sin 2 Φ
cos Φ

A 1 (1 E 2 )cos Φ

(1 − E 2 sin 2 Φ ) 2 d Λ d Φ,

− −

(I.12)

S S

Λ S d S = ρ 2
S

E 2 sin 2 Φ
cos 2 Φ

1 − A 1 (1 − E 2 )cos Φ

E 2 sin 2 Φ ) 2 d Λ d Φ,

(I.13)

(1 −

S

2 c 1 ρ + c 2 ρ 2

J l A ( ρ )= c 0 −

⇔
c 0 := 1
⇔ (I.14)

S A 1 (1 − E 2 )

c 1 := 1 Λ S d S = 1

d Λ d Φ

E 2 sin 2 Φ ) 3 / 2 ,

S

(1 −

S S

E 2 ) c 2 := 1 Λ S d S = 1

d Λ d Φ

S A 1 (1

E 2 sin 2 Φ ) .
Furthermore, constitutional elements of the left Airy distortion energy are
Λ E

−

S

cos Φ (1 −

S S

d Λ Φ E
Φ S

E 2 sin 2 Φ ) 3 / 2 = Φ N

d Φ ( Λ E − Λ W )d Φ

E 2 sin 2 Φ ) 3 / 2 ,

(I.15)

(1 − (1 −

Λ W Φ S