Mixed Cylindric Map Projections - Map Projections: Cartographic Information Systems - page 760

x = x ( Λ, Φ )=
= αx gL + βx gSF
α + β

= A 2 (1 − E 2 )cos Φ
(1

1
f ( Φ ) , E 2 sin 2 Φ ) 2 Λ

(F.33)

−

y = y ( Φ )=: f ( Φ ) .

End of Definition.

This time, in constructing the unknown function f ( Φ ), the horizontal coordinate mean x ( Λ, Φ ),
i.e. ( F.34 ), is the basis generating the vertical coordinate y ( Φ ), i.e. ( F.35 )-( F.38 ).

αx gL + βx gSF
α + β

= A 2 (1

− E 2 )cos Φ Λ

f ( Φ ) ,

(F.34)

E 2 sin 2 Φ ) 2

(1 −

A cos ΦΛ
1 − E 2 sin 2 Φ x gL = AΛ, x gSF = , (F.35)

f ( Φ )= A 2 (1

E 2 )cos ΦΛ

− α + β

αx gL + βx gSF ,

E 2 sin 2 Φ ) 2

(1 −

f ( Φ )= A 2 (1

− E 2 )cos ΦΛ α + β

αAΛ + β ( A cos Φ ) Λ/ 1

= (F.36)

E 2 sin 2 Φ ) 2

(1 −

E 2 sin 2 Φ −

E 2 sin 2 Φ ) − 3 / 2
α 1 − E 2 sin 2 Φ + β cos Φ

E 2 )cos Φ (1

= ( α + β ) A (1

− −

,

f ( Φ =0)=0
⇔ (F.37)

Φ

f ( Φ ∗ )d Φ ∗ , f ( Φ )=

0

E 2 )( α + β ) Φ
0

E 2 sin 2 Φ ∗ ) − 3 / 2
α 1 − E 2 sin 2 Φ ∗ + β cos Φ ∗

cos Φ ∗ (1 −

d Φ ∗ .

y ( Φ )= A (1 − (F.38)

In detail, we use
(1 − E 2 sin 2 Φ ) − 3 / 2 ≈

≈ 1+ 3

2 E 2 sin 2 Φ + 15 8 E 4 sin 4 Φ +O( E 6 ) ,

1

E 2 sin 2 Φ

− ≈ (F.39)

1 1

2 E 2 sin 2 Φ 8 E 4 sin 4 Φ +O( E 6 ) ,

≈ 1 − −

α 1 E 2 sin 2 Φ + β cos Φ − ≈

α α

2 E 2 sin 2 Φ 8 E 4 sin 4 Φ +O( E 6 ) ,

≈ α + β cos Φ − −

( α 1 E 2 sin 2 Φ + β cos Φ ) − 1 − ≈ (F.40)

2( α + β cos Φ ) 2 + αE 4 (3 α + β cos Φ )sin 4 Φ

αE 2 sin 2 Φ

1
α + β cos Φ +

+O( E 6 ) ,

≈

8( α + β cos Φ ) 3