Geodesics - Map Projections: Cartographic Information Systems - page 749

.. q 2 = λλ · 2 (cos 2 α +sin 2 α )+ λλ · 2 (cos 2 α +sin 2 α ) ,
.. q 2 t 3 =( λ ( λ · 2 ) 2 + λ 2 λ · 22 ) v 3 +( λλ · 1 λ · 2 + λ 2 λ · 12 ) uv 2 +

+( λ ( λ · 2 ) 2 + λ 2 λ · 22 ) u 2 v )+( λλ · 1 λ · 2 + λ 2 λ · 12 ) u 3 ,
.. α = − 4( λλ · 12 − λ · 1 λ · 2 ) α cos α sin α +

λλ · 11 +( λ · 1 ) 2 ( λ · 2 ) 2 )(cos 2 α sin 2 α ) α +

+( λλ · 22 − − −

sin 2 α ) d +(cos 2 α

−

dt ( λλ · 12 −

λ · 1 λ · 2 )+

+cos α sin α d

λλ · 11 +( λ · 1 ) 2 ( λ · 2 ) 2 ) ,

dt (( λλ · 22

− −

.. α t 3 =( λλ · 2 λ · 22

2 λλ · 2 λ · 11 +( λ · 1 ) 2 λ · 2 ( λ · 2 ) 3 + λ 2 λ · 121 ) u 3 + − −

+(5 λ · 1 ( λ · 2 ) 2 ( λ · 1 ) 3 λλ · 1 λ · 22 +2 λ 2 λ · 122

− − 6 λλ · 2 λ · 12 +2 λλ · 1 λ · 11 −

−λ 2 λ · 111 ) u 2 v +

5( λ · 1 ) 2 λ · 2 ( λ · 2 ) 3 +6 λλ · 1 λ · 12 2 λ 2 λ · 112

+( − − − 2 λλ · 2 λ · 22 + λλ · 2 λ · 11 −

+ λ 2 λ · 222 ) uv 2 +

λλ · 1 λ · 11 +2 λλ · 1 λ · 22 +( λ · 1 ) 3 λ · 1 ( λ · 2 ) 2 λ 2 λ · 122 ) v 3 .

+( − − −

Note that λ μ ,λ μν ,and λ μνγ denote the first derivative with respect to q μ , the second derivative
with respect to q μ and q ν , and the third derivative with respect to q μ ,q ν ,md q γ .

Box E.8 (The coecients of the Lie series up to the third order, all quantities are to be taken
af Taylor point t =0).

1+ d 02

2 q 1 ( q 2 ) 2 ,

2 ( q 2 ) 2 + d 12

f 10 = λ = 1
ρ

4 ρ 2 d 12 ( q 2 ) 2 +2 d 22 q 1 ( q 2 ) 2 ,

1

f 20 =

12 ρ 3 2 d 22 ( q 2 ) 2 +6 d 32 q 1 ( q 2 ) 2 ,

1

f 30 = (E.125)

12 ρ 3 2 d 12 q 2 +( d 12 d 02 +4 d 14 )( q 2 ) 3 +4 d 22 q 1 q 2 +6 d 32 ( q 1 ) 2 q 2 ,
f 02 = f 20 , 21 = f 03 , 12 = f 30 ,
g 01 = λ = 1

1

f 30 =

1+ d 02

2 q 1 ( q 2 ) 2 , 2 ( q 2 ) 2 + d 12 ρ