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Fig. 22.3.
Easting
x
(
b,l
), Northing
y
(
b,l
), harmonic map, Taylor point
Table 22.22
The left Cauchy-Green deformation tensor, special harmonic map
C
l
=
x
L
+
y
L
=
x
l
+
y
l
x
l
x
b
+
y
l
y
b
x
l
x
b
+
y
l
y
b
x
b
+
y
b
x
L
x
B
+
y
L
y
B
(22.135)
x
L
x
B
+
y
L
y
B
x
2
B
+
y
B
c
11
=
x
01
+4
y
02
l
+
y
12
bl
+
y
22
b
2
l
+2
y
04
l
3
+
O
(4)
2
(22.136)
c
12
=2
y
02
l
+
y
12
bl
+
y
22
b
2
l
+2
y
04
l
3
+
O
(4)
2
∗
[
y
10
+2
y
20
b
+3
y
20
b
2
+2
y
12
l
2
+4
y
40
l
3
+2
y
22
bl
2
+
O
(4)]
∗
(22.137)
c
22
=
y
10
+2
y
20
b
+3
y
30
b
2
+
y
12
l
2
+4
y
40
l
3
+2
y
22
bl
2
+
O
(4)
2
(22.138)
det
C
l
G
−
l
, the determinant as the
second invariant
of the matrix
C
l
G
−
l
. While
1
/
2tr
C
l
G
−
l
is
the
radius
of the
average circle
of the
left Tissot ellipse. π
det
C
l
G
−
l
its area.
Table 22.23
Distortion density of the special harmonic map, 1st
invariant
J
1
=
tr
C
l
G
−
1
l
=
G
−
1
11
x
l
+
G
−
1
x
b
+
G
−
1
y
l
+
G
−
1
y
b
(22.139)
22
11
11
1
N
2
cos
2
B
x
l
+
1
N
2
cos
2
B
y
l
+
1
M
2
y
b
J
1
=
(22.140)
N
2
cos
2
B
y
02
l
2
+2
y
02
y
12
bl
2
+
y
12
+2
y
02
y
22
b
2
l
2
+4
y
02
y
04
l
4
+4
y
12
y
04
bl
4
+
y
22
x
01
4
J
1
=
N
2
cos
2
B
+
l
6
+
O
(7)
b
4
l
2
+2
y
12
y
22
b
3
l
3
+4
y
22
y
04
b
2
l
4
+4
y
04
+
M
2
y
10
+4
y
10
y
20
b
+
4
y
20
+6
y
10
y
30
b
2
+2
y
10
y
12
l
2
+(8
y
10
y
40
+12
y
20
y
30
)
b
3
+(4
y
20
y
02
+4
y
10
y
22
)
bl
2
+
16
y
20
y
40
+9
y
30
b
4
+8
y
20
y
22
b
2
l
2
+
y
12
l
4
+(12
y
30
y
22
+8
y
12
y
40
)
b
3
l
2
+4
y
12
y
22
bl
4
+16
y
40
b
6
+16
y
40
y
22
b
4
l
2
+4
y
22
b
2
l
4
+
O
(7)
}
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