Optimal Map Projections by Variational Calculus: Harmonic Maps - Map Projections: Cartographic Information Systems - page 578

Table 22.19 Harmonic map, “ Northing ”, the polynomial coecients y rs

A 1 1 E 2 −

y 10 = (22.116)

E 2 sin 2 B 0 ) 3 / 2 (1 −

y 20 = 3 A 1 E 2 1

E 2 cos B 0 sin B 0

−

(22.117)

E 2 sin 2 B 0 ) 5 / 2

2(1 −

A 1 cos B 0 sin B 0
2 √ 1

y 02 = (22.118)

− E 2 sin 2 B 0

A 1 E 2 1 E 2

1+2 sin 2 B 0 + E 2 sin 2 B 0 − 4+3 sin 2 B 0 ]

y 30 = −

−

−

[ (22.119)

E 2 sin 2 B 0 ) 7 / 2 2(1 −

1

2(sin B 0 ) 2 + E 2 sin 4 B 0 A 1 −

y 12 = (22.120)

2 1 E 2 sin 2 B 0 3 / 2

−

E 2 1 E 2 sin B 0

−

y 40 = − A 1 (22.121)

E 2 sin 2 B 0 ) 3 / 2 8cos B 0 (1 −

[4 + E 2 − 15 + 22 sin 2 B 0 + E 4 sin 2 B 0 − 20 + 9 sin 2 B 0 ] ∗

cos B 0 sin B 0 − 4+ E 2 3+2 sin 2 B 0 − E 4 sin 4 B 0

y 22 = A 1 (22.122)

E 2 sin 2 B 0 ) 5 / 2

4(1 −

A 1 cos B 0 sin B 0

y 04 =

E 2 sin 2 B 0 ∗

(22.123)

E 2 ) 2 √ 1

24 (1 − −

E 2 1+6 sin 2 B 0 − 9 sin 4 B 0 + E 4 sinB 0 3 4 sin 2 B 0 ]

6 sin 2 B 0 −

∗ [5 − −

A 1 E 2 1 E 2

−

y 50 =

E 2 sin 2 B 0 ) 11 / 2 ∗

40 cos 2 B 0 (1 −

4+8 sin 2 B 0 + E 2 15 128 sin 2 B 0 + 116 sin 4 B 0 + E 4 sin 2 B 0

∗ − −

[

180

362 sin 2 B 0 + 164 sin 4 B 0 + E 6 sin 4 B 0 120 136 sin 2 B 0 +27 sin 4 B 0 − − (22.124)

A 1

y 32 =

E 2 sin 2 B 0 7 / 2 ∗

12 1

−

4+8 sin 2 B 0 + E 2 (3 16 sin 2 B 0 +4 sin 4 B 0 )+ E 4 sin 2 B 0 (12 10 sin 2 B 0 +4 sin 4 B 0 )

∗ − − −

[

E 6 sin 8 B 0 ]

− (22.125)

A 1

y 14 =

E 2 sin 2 B 0 ) 3 / 2 ∗ E 2 ) 2 (1 24 (1 − −

28 sin 2 B 0 +24 sin 4 B 0 + E 2 − 72 sin 6 B 0 + 16 sin 2 B 0 +86 sin 4 B 0 − ∗ [5 − 1 −

E 4 sin 4 B 0 26 100 sin 2 B 0 +77 sin 4 B 0 + E 6 sin 6 B 0 − 28 sin 4 B 0 ]

12 + 39 sin 2 B 0 −

− (22.126)

22-4 Distortion Energy Analysis

First, we compute the eigenspace components of the left Cauchy-Green deformation tensor for
the special harmonic map of an ellipsoid of revolution derived in the previous chapter. The
left eigenvalues of the matrix C l G − l —also called left principal stretches—together with its left
eigenvalues constitute the portray of the left Tissot distortion ellipse. Second, we determine the