From Riemann Manifolds to Riemann Manifolds - Map Projections: Cartographic Information Systems - page 31

tr[C r G − r ] = tr[C r ]= 2 R 2

( x 2 + y 2 ) −

( x 2 + y 2 ) , R 2 −

(1.100)

det[C r G − r ]=det[C r ]= ( R 2

− x 2 )( R 2 − y 2 ) − x 2 y 2 R 2

( x 2 + y 2 ) ,

=

[ R 2 − ( x 2 + y 2 )] 2 R 2 −

( x 2 + y 2 ) 2

(tr[C r G − r ]) 2 − 4det[C r G − r ]=

− ( x 2 + y 2 )] 2 ,

[ R 2

R 2 R

λ 1 = λ 2 + =

( x 2 + y 2 ) ,λ 1 = λ + =+

R 2

( x 2 + y 2 ) ,

R 2 −

−

λ 2 = λ 2

=1 ,λ 2 = λ − =+1 .
Right eigencolumns:

−

(i) √ := g 11 ( C 22 −

λ 1 g 22 ) 2 − 2 g 12 ( C 12 − λ 1 g 12 )( C 22 − λ 1 g 22 )+ g 22 ( C 12 − λ 1 g 12 ) 2 =

x 2 + y 2

= ( C 22 −

λ 1 ) 2 + C 12 = x

− ( x 2 + y 2 ) ,

(1.101)

R 2

f 11
f 21

= 1 C 22 − λ 1

−C 12

= x

y

;

1

x 2 + y 2

−

√

√ := g 11 ( C 12

λ 2 g 12 ) 2 λ 2 g 11 )( C 12 λ 2 g 12 )+ g 22 ( C 11 λ 2 g 11 ) 2 =

(ii) − − 2 g 12 ( C 11 − − −

x 2 + y 2

= ( C 11 λ 2 ) 2 + C 12 = x

−

( x 2 + y 2 ) ,

(1.102)

R 2 −

f 12
f 22

= 1 =+ − .

1
x 2 + y 2

C 12
C 11 −

− y

√

λ 2

x

Right eigenvectors:

1st eigenvector: f 1 := e 1 f 11 + e 2 f 21 , f 1 ( x, y )
=

x y

x 2 + y 2 − x 2 + y 2 ;

− e 1 e 2

(1.103)

2nd eigenvector: f 2 := e 1 f 12 + e 2 f 22 , f 2 ( x, y )
= − e 1

y
x 2 + y 2 + e 2

x
x 2 + y 2 .

Notes: (1.104)

f 1 | f 2 =0 ⇒ ( f 1 , f 2 )= π/ 2 , f 1 2 = f 2 2 =1 .