From Riemann Manifolds to Riemann Manifolds - Map Projections: Cartographic Information Systems - page 29

Right Cauchy-Green matrix:
C r := J r G l J r , G l = R 2 cos 2 Φ 0

= x 2 + y 2

R 2 , C r =

1

0

x 2 + y 2 ×

01 0

⎡ ⎤

R 2 ⎡

⎤

x 2 + y 2

√ x 2 + y 2

y

√ R 2 − ( x 2 + y 2 )

x

√ x 2 + y 2

y

√ x 2 + y 2

x

−

0

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ =

×

√ x 2 + y 2

x

√ R 2 − ( x 2 + y 2 )

y

√ R 2 − ( x 2 + y 2 )

x

√ R 2 − ( x 2 + y 2 )

y

0

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

y x 2 + y 2

R 2

√ R 2 − ( x 2 + y 2 ) √ x 2 + y 2

y

√ x 2 + y 2

x

x −

1
x 2 + y 2

⎣

x x 2 + y 2 y

⎦ ⎣ ⎦ =

= (1.93)

√ R 2 − ( x 2 + y 2 )

x

√ R 2 − ( x 2 + y 2 )

y

√ R 2 − ( x 2 + y 2 )

R 2

−

R 2

x 2 .

1

− y 2 xy

=

R 2

xy −

R 2 − ( x 2 + y 2 )

Right Cauchy-Green tensor:

2 2

e μ e ν C μν = C μν e μ e ν , C r = ⊗ ⊗

μ,ν =1 μ,ν =1

2 =span {e 1 ,e 2 } =span {e 1 ,e 2 2 =1 ,

R }, e μ |e ν = δ μν , e μ

C r = e 1 ⊗ e 1 C 11 + 1

2 ( e 1 ⊗ e 2 + e 2 ⊗ e 1 )2 C 12 + e 2 ⊗ e 2 C 22 =

(1.94)

R 2 y 2

− ( x 2 + y 2 ) + 1

− 2 xy

= e 1 ⊗ e 1

2 ( e 1 ⊗

e 2 + e 2 ⊗ e 1 )

R 2 R 2 − ( x 2 + y 2 )

R 2 x 2 −

+ e 2 ⊗ e 2

( x 2 + y 2 ) .

R 2 −

1
2 ( e μ

⊗ e ν + e ν ⊗ e μ )=: e μ ∨ e ν (symmetric product) ,

R 2 − y 2

2 xy

R 2 − x 2

C r = e 1 ∨ e 1

( x 2 + y 2 ) + e 1 ∨ e 2 ( x 2 + y 2 ) + e 2 ∨ e 2 ( x 2 + y 2 ) . R 2 − R 2 − R 2 −

2 2

O

Box 1.14 (Orthogonal projection S

R + onto

P , polar coordinates, the first problem).

x = r cos α, y = r sin α,
Λ ( x, y ) = arctan y

x = α,

(1.95)

Φ ( x, y ) = arccos x 2 + y 2
R

= arccos r

R .

Right Jacobi matrix:
J r := D α ΛD r Λ

= 10 ,

1
√ R 2 −r 2

0 −

D α ΦD r Φ