Geodetic Mapping - Map Projections: Cartographic Information Systems - page 503

1
2 S E 2 A 1 ,A 2

1
4 A 1 (1 E 2 ) l − E (sin B N

sin B S ) − 1 = − ×

−

(20.162)

1

+O 2 ( E 4 ) ,

3 E 2 sin 3 B N

sin 3 B S 2 −

× −

sin B N − sin B S

l E 1

40

I AS =

E 2 ) 2 ×

(1 −

1

sin 3 B N − sin 3 B S

sin B N − sin B S

sin 5 B N − sin 5 B S

sin B N − sin B S

2
3

+ 1
5

× − ×

(20.163)

1 −

+O 2 ( E 4 ) +

3 E 2 sin 3 B N − sin 3 B S

2

×

sin B N − sin B S

+O S ( l E ) ,

I AS ( B N = −B S )= 1
40

l E

E 2 ) 2 × (1 −

1

3 sin 2 B N (1 + E 2 )+sin 4 B N 4 15 E 2 sin 6 B N +O 2 ( E 4 ) +

2

9 E 2 + 1

2

× − − (20.164)

5

+O S ( l E ) .

End of Proof.

Proof (Riemann, l := L − L 0 ,b := B − B 0 ).

1 − E 2 sin 2 B 0
1

Λ 1 =1+ cos 2 B 0
6

l 2 + 1
6

1 − E 2

E 2 sin 2 B 0 b 2 +O R ( l 3 ,b 3 ) , Λ 2 =1 ,

(20.165)

− E 2 1 −

d S E 2 A 1 ,A 2 ( Λ 1 − 1) 2 = A 1 (1 − E 2 )

+ l E B N

1
2 S E 2 A 1 ,A 2

d B cos B ( Λ 1 − 1) 2
(1

I AR =

d l

E 2 sin 2 B ) 2 ,

(20.166)

2 S E 2 A 1 ,A 2 −

−l E B S

1= cos 2 B 0
6

E 2 sin 2 B 0
1

E 2

1 −

l 2 + 1
6

1 −

1 − E 2 sin 2 B 0 b 2 +O R ( l 3 ,b 3 ) ,

Λ 1 − (20.167)

− E 2

1) 2 = cos 4 B 0
36

E 2 sin 2 B 0 ) 2
(1 − E 2 ) 2

E 2 ) 2 (1 −

l 4 + 1
36

(1 −

E 2 sin 2 B 0 ) 2 b 4

( Λ 1 −

(1 −

+ cos 2 B 0
18

l 2 b 2 +O R ( l 5 ,b 5 ) ,