Geodetic Mapping - Map Projections: Cartographic Information Systems - page 502

E 2 l E sin B N − sin B S − 5 (sin 5 B N − sin 5 B S ) +

1
10

A 1 2

3 (sin 3 B N − sin 3 B S )+ 1

= (20.154)

1 −

+O GK ( l E ) ,

sin B N − sin B S + 2

3 E 2 (sin 3 B N − sin 3 B S )+O 1 ( E 4 ) − 1

1
S E A 1 ,A 2

1
2 A 1 (1 E 2 ) l − 1

= = (20.155)

E

−

sin B S ) − 1 1 +O 2 ( E 4 ) ,

3 E 2 sin 3 B N − sin 3 B S

1
2 A 1 (1

2

E 2 ) l − E (sin B N

= − −

− sin B N − sin B S

E 2 ) 2 1

l E sin 3 B N − sin 3 B S sin 5 B N − sin 5 B S

1
20

2
3

+ 1
5

I AGK = − ×

(1 − sin B N − sin B S sin B N − sin B S

1

+O 2 ( E 4 ) +

3 E 2 sin 3 B N −

sin 3 B S
sin B N − sin B S

2

× − (20.156)

+O GK ( l E ) ,
I AGK ( B N = −B S )= 1
20

l E

E 2 ) 2 × (1 −

1

3 sin 2 B N (1 + E 2 )+sin 4 B N 4 15 E 2 sin 6 B N +O 2 ( E 4 ) +

2

9 E 2 + 1

2

× − − (20.157)

5

+O GK ( l E ) .

End of Proof.

Proof (Soldner, l = L − L 0 ).

1 − E 2 sin 2 B
1

Λ 1 =1+ cos 2 B
2

l 2 +O S ( l 4 ) ,Λ 2 =1 ,

(20.158)

− E 2

d S E 2 A 1 ,A 2

+ l E B N

1) 2 = A 1 (1

E 2 )
2 S E 2 A 1 ,A 2

1) 2

1
2 S E 2 A 1 ,A 2

−

d B cos B ( Λ 1 − I AS = ( Λ 1 − d l

E 2 sin 2 B ) 2 ,

(20.159)

(1 −

−l E B S

1 − E 2 sin 2 B
1

1= cos 2 B
2

l 2 +O S ( l 4 ) , Λ 1 −

− E 2

(20.160)

E 2 sin 2 B ) 2
(1

1) 2 = 1

4 cos 4 B (1

−

l 4 +O S ( l 6 ) ,

( Λ 1 −

− E 2 ) 2

⎡ ⎤

d S E 2 A 1 ,A 2 ( Λ 1

+ l E B N

1) 2 = 1
4

A 1

⎣ l 4 ⎦ =

d B cos 5 B +O S ( l 6 ) − d l (20.161)

1 − E 2

−l E B S

E 2 l E sin B N − sin B S − 5 (sin 5 B N − sin 5 B S ) +

1
10

A 1 2

3 (sin 3 B N − sin 3 B S )+ 1

=

1 −

+O S ( l E ) ,