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ln
1+
E
sin
Φ
1
.
f
(
Φ
)=
A
1
(1
−
E
2
)
4
E
2
E
sin
Φ
E
sin
Φ
+
(14.22)
E
2
sin
2
Φ
−
1
−
Proof.
“Integration-by-parts” :
x
x
E
sin
x
cos
x
d
x
d(
E
sin
x
)
d
y
E
2
sin
2
x
)
2
=
1
E
2
sin
2
x
)
2
=
1
y
2
)
2
,
(1
−
E
(1
−
E
(1
−
0
0
0
1
1
(1 +
y
)
2
(1
A
B
C
(1 +
y
)
2
+
D
1+
y
,
y
2
)
2
=
y
)
2
=
y
)
2
+
y
+
(14.23)
(1
−
−
(1
−
1
−
A
(1 +
y
)
2
+
B
(1 +
y
)
2
(1
y
)
2
+
D
(1
y
)
2
(1 +
y
)=1
−
y
)+
C
(1
−
−
⇒
A
(1 + 2
y
+
y
2
)+
B
(1 +
y
y
2
y
3
)+
C
(1
2
y
+
y
2
)+
D
(1
y
2
+
y
3
)=1;
−
−
−
−
y
−
(i)
y
3
:
−
B
+
D
=0
,
(ii)
y
2
:
A
−
B
+
C
−
D
=0
,
(14.24)
(iii)
y
:2
A
+
B
−
2
C
−
D
=0
,
(iv)
1:
A
+
B
+
C
+
D
=1;
B
=
D
=
1
−
(ii) + (iv) : 2(
B
+
D
)=1
,
(i) :
−
B
+
D
=0
⇒
4
,
B
=
D
=
1
4
,
(ii) :
A
+
C
=
1
A
=
C
=
1
2
,
(iii) : 2(
A
−
C
)=0
⇒
4
;
(14.25)
d
y.
E
sin
x
E
sin
x
1
E
d
y
1
4
E
1
1
(1 +
y
)
2
+
1
1
1+
y
y
2
)
2
=
y
)
2
+
y
+
(14.26)
(1
−
(1
−
1
−
0
0
Standard Integrals:
ay
+
b
=
1
d
y
d
y
(+
y
+1)
2
=
1
+
y
+1
,
d
y
(
−y
+1)
2
=
1
−y
+1
,
a
ln
|
ay
+
b
|
,
−
(14.27)
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