“Ellipsoid-of-Revolution to Cylinder”: Polar Aspect - Map Projections: Cartographic Information Systems - page 341

ln 1+ E sin Φ
1

.

f ( Φ )= A 1 (1 − E 2 )
4 E

2 E sin Φ

E sin Φ +

(14.22)

E 2 sin 2 Φ − 1 −

Proof.

“Integration-by-parts” :

x x E sin x

cos x d x d( E sin x ) d y

E 2 sin 2 x ) 2 = 1 E 2 sin 2 x ) 2 = 1 y 2 ) 2 ,

(1 − E (1 − E (1 −

0 0 0

1 1

(1 + y ) 2 (1

A B C

(1 + y ) 2 +

D
1+ y , y 2 ) 2 = y ) 2 = y ) 2 + y +

(14.23)

(1 − − (1 − 1 −

A (1 + y ) 2 + B (1 + y ) 2 (1 y ) 2 + D (1 y ) 2 (1 + y )=1

− y )+ C (1 − −

⇒

A (1 + 2 y + y 2 )+ B (1 + y y 2 y 3 )+ C (1 2 y + y 2 )+ D (1 y 2 + y 3 )=1; − − − − y −

(i)

y 3 :

− B + D =0 ,

(ii)

y 2 : A − B + C − D =0 , (14.24)

(iii)

y :2 A + B − 2 C − D =0 ,

(iv)
1: A + B + C + D =1;

B = D = 1

− (ii) + (iv) : 2( B + D )=1 , (i) : − B + D =0 ⇒

4 ,

B = D = 1

4 , (ii) : A + C = 1

A = C = 1

2 , (iii) : 2( A

− C )=0 ⇒

4 ;

(14.25)

d y.

E sin x E sin x

1
E

d y 1

4 E

1 1

(1 + y ) 2 +

1 1

1+ y

y 2 ) 2 = y ) 2 + y +

(14.26)

(1 − (1 − 1 −

0 0

Standard Integrals:

ay + b = 1

d y d y

(+ y +1) 2 =

1
+ y +1 ,

d y
( −y +1) 2 =

1
−y +1 , a ln

| ay + b | , − (14.27)