Coordinates - Map Projections: Cartographic Information Systems - page 148

+ e 2 0 cos β sin α + e 3 0 sin β.
Transformation { e 1 , e 2 , e 3 |O} → { e 1 0 , e 2 0 , e 3 0 |O} :

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

e 1
e 2
e 3

sin φ 0 cos λ 0 − sin λ 0 cos φ 0 cos λ 0
sin φ 0 sin λ 0 cos λ 0 cos φ 0 sin λ 0
− cos φ 0

e 1 0
e 2 0
e 3 0

⎣ ⎦ = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ,

(3.45)

0 sin φ 0

e 1 =+ e 1 0 sin φ 0 cos λ 0 − e 2 0 sin λ 0 + e 3 0 cos φ 0 cos λ 0 ,
e 2 =+ e 1 0 sin φ 0 sin λ 0 + e 2 0 cos λ 0 + e 3 0 cos φ 0 sin λ 0 ,

(3.46)

e 3 = − e 1 0 cos φ 0 + e 3 0 sin φ 0 ,

x = e 1 x + e 2 y + e 3 z =
= e 1 0 ( x sin φ 0 cos λ 0 + y sin φ 0 sin λ 0 − z cos φ 0 )+
+ e 2 0 ( −x sin λ 0 + y cos λ 0 )+ e 3 0 ( x cos φ 0 cos λ 0 + y cos φ 0 sin λ 0 + z sin φ 0 )=
= r e 1 0 (cos φ cos λ sin φ 0 cos λ 0 +cos φ sin λ sin φ 0 sin λ 0 −

sin φ cos φ 0 )+ (3.47)

cos φ cos λ sin λ 0 +cos φ sin λ cos λ 0 )+
+ r e 3 0 (cos φ cos λ cos φ 0 cos λ 0 +cos φ sin λ cos φ 0 sin λ 0 +sin φ sin φ 0 )
= r e 1 0 cos β cos α + r e 2 0 cos β sin α + r e 3 0 sin β.

+ r e 2 0 ( −

Box 3.5 (From the equatorial frame of reference { e 1 , e 2 , e 3 |O} to the meta-equatorial
(oblique) frame of reference { e 1 0 , e 2 0 , e 3 0 |O} : the direct transformation).
(i) The first identity (spherical sine lemma):

x 0
r cos β ,

x 0 = r cos β cos α

⇒ cos α =

1
cos β (cos φ cos λ sin φ 0 cos λ 0 +cos φ sin λ sin φ 0 sin λ 0 −

cos α = sin φ cos φ 0 ) , (3.48)

1
cos β (cos φ sin φ 0 cos( λ − λ 0 ) − sin φ cos φ 0 ) .

cos α =

(ii) The second identity (spherical sine-cosine lemma):

y 0
r cos β ,

y 0 = r cos β sin α ⇒ sin α =

1
cos β (

sin α = − cos φ cos λ sin λ 0 +cos φ sin λ cos λ 0 ) , (3.49)

1
cos β cos φ sin( λ

sin α = − λ 0 ) .