Künstliche Intelligenz und Neuroinformatik - Die Geschichte der Rechenautomaten - page 122

Abb. 3.24 Bernhard Russel

tik der Fuzzy-Set-Theorie [dt.: unscharfe Mengenlehre] be-
schrieb. Dort verband L. Zadeh die Idee M. Blacks der „Fran-
sen“ mit der unendlichwertigen Logik von J. Lukasiewicz.

Abb. 3.26 L. Zadeh auf der
WorldCom 2010

In der Theorie der Fuzzy-Mengen wird die Zugehörigkeit
zu einer Menge durch einen „Zugehörigkeitsgrad“, der Werte
zwischen 0 und 1 annehmen kann, beschrieben. Bei einem
Zugehörigkeitsgrad 1 ist ein Element Bestandteil der Menge,
bei einem Zugehörigkeitsgrad 0 ist es kein Bestandteil der
Menge. Bei Werten zwischen 0 und 1 gehört es zu einem ge-
wissen Grad zur Menge. So lässt sich der Begriff eines großen
Menschen z. B. gemäß Abb. 3.27 darstellen.

rasiert werden. Die in der zweiwertigen Logik nicht lösbare
Paradoxie entsteht durch die Frage, wer den Barbier rasiert.
Zur selben Zeit führte J. Lukasiewicz ( Abb. 3.25 ) als erster
eine systematische Alternative zu Aristoteles zweiwertiger Lo-
gik ein. J. Lukasiewicz zeigte, dass es Sätze gibt, denen keiner
der Wahrheitswerte „wahr“ oder „falsch“ zugeordnet werden
kann. Hieraus schloss er auf die Existenz eines dritten Wahr-
heitswertes, den er zwischen „wahr“ und „falsch“ ansiedelte
und „ possible “ nannte. Später entwickelte J. Lukasiewicz auch
vier- und fünfwertige Logiken. Der Bezug zur Fuzzy-Set-
Theorie ergibt sich, da er auch die Möglichkeit nannte, eine
unendlichwertige Logik einzuführen. J. Lukasiewicz ließ dazu
alle Zahlen aus dem Intervall [0,1] als Wahrheitswerte zu.

µ (x)

1

0,3

cm

150 160 170 180 190 200

Abb. 3.25 J. Lukasiewicz

Abb. 3.27 Mögliche Fuzzy-Repräsentation der Deinition von „Große
Menschen“

Aus der in Abb. 3.27 dargestellten möglichen Repräsen-
tation der Deinition des Begriffs „Große Menschen“ ist
ersichtlich, dass bei dieser Deinition ein Mensch von der
Größe 170 cm noch mit dem Grad 0,3 zu den großen Men-
schen gehört.
In der klassischen Mengenlehre werden die Vereinigung
und der Durchschnitt von Mengen über die Maximum- und
die Minimum-Funktion der jeweiligen charakteristischen
Funktionen gebildet. In Analogie hierzu werden in der Theo-
rie der Fuzzy-Mengen diese Operationen über den maximalen
bzw. minimalen Wert der beiden Zugehörigkeitsgrade dei-
niert. Die Abb. 3.28 zeigt dies an einem konkreten Beispiel.
Auch die üblichen Gesetze der Mengentheorie lassen sich
vollständig übertragen.
Fuzzy-Zahlen sind spezielle Fuzzy-Mengen. Die linke
obere Fuzzy-Menge aus Abb. 3.28 ist eine mögliche Re-
präsentation der Fuzzy-Zahl 2. Dagegen ist die rechte obere
Fuzzy-Menge keine Fuzzy-Zahl, da Fuzzy-Zahlen stets genau
einen Punkt mit dem Erfüllungsgrad 1 besitzen müssen.
Um arithmetische Funktionen für Fuzzy-Zahlen deinieren
zu können, hat Zadeh das sog. Extensionsprinzip entwickelt,
welches erlaubt, jede beliebige klassische Funktionsdeini-
tion in eine Fuzzy-Variante zu transformieren. Die Abb. 3.29

Die Ideen von B. Russel nahm M. Black im Jahre 1937
wieder auf und stellte ein Verfahren vor, mit dem er die Un-
schärfe von Symbolen numerisch darstellen konnte. Er nannte
diese Methode consistency-proile . Er deinierte dabei die Un-
genauigkeit oder Vagheit eines Symbols unter Zuhilfenahme
dessen Komplements.
M. Black ging davon aus, dass es mindestens ein Element
gibt, das weder zum Symbol selbst noch zu dessen Komple-
ment vollständig gehört. Die Menge der Elemente, die nicht
eindeutig zugeordnet werden können, nannte er frings [dt.:
Fransen].
Im Jahr 1965 veröffentlichte Lofty Zadeh ( Abb. 3.26 ) den
grundlegenden Artikel „Fuzzy Sets“ in dem er die Mathema-