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peratur ist eine subjektive Empindung, die von Person zu
Person verschieden beurteilt werden kann.
2. Legt sich die bewertende Person auf ein festes Teilintervall
fest, beispielsweise den Bereich zwischen 19 und 22 °C,
so bedeutet dies, dass eine Zimmertemperatur von 19 °C
als angenehm, eine Temperatur von 18,9 °C jedoch als
unangenehm bezeichnet wird. Dies macht wenig Sinn und
entspricht nicht unserem natürlichen Gefühl.
Wie dieses Beispiel verdeutlicht, entspricht die Angabe
einer klassischen Menge als Menge der „angenehmen Zim-
mertemperatur“ nicht der Intuition. Im Gegensatz zur Angabe
„21 Grad“ repräsentiert der Begriff „angenehme Zimmertem-
peratur“ verschiedene Werte, die diesem Begriff mehr oder
weniger gut entsprechen. Die Zweiwertigkeit der klassischen
Mengen ist für diese Menge nicht geeignet, da es für die Ele-
mente des Intervalls von 10 bis 30 keinen kontinuierlich ab-
gestuften Zugehörigkeitsgrad zwischen Nichtmitgliedschaft
(„nicht angenehme Zimmertemperatur“) und Vollmitglied-
schaft („angenehme Zimmertemperatur“) gibt.
klassischen Logik nicht mehr problemlos zu beantworten. Ein
Mensch könnte diese Frage jedoch mit
Der Apfel beindet sich zum Teil im Kühlschrank
beantworten. Eine derartige graduelle Aussage ist jedoch in
der klassischen zweiwertigen Logik nicht möglich.
Diese Problematiken lassen sich durch die im Jahre 1965
von Loti A. Zahdeh entwickelte Theorie der unscharfen Men-
gen und unscharfen Logik ( Fuzzy-Set-Theory, Fuzzy-Logik )
lösen. Die Fuzzy-Set-Theory erweitert das Prinzip der klassi-
schen Mengen, indem der Wertevorrat der charakteristischen
Funktion c auf das Intervall der reellen Zahlen zwischen 0
und 1 (jeweils eingeschlossen), also [0,1] erweitert wird. Die
Funktion wird nicht mehr charakteristische Funktion c, son-
dern Zugehörigkeitsfunktion m genannt. Man interpretiert den
Funktionswert m M ( x ) eines Elements x der Grundmenge G als
Maß für die Mitgliedschaft bzw. die Zugehörigkeit zur betref-
fenden Menge M und bezeichnet ihn als Zugehörigkeitsgrad
oder Erfüllungsgrad.
Je größer der Wert m M ( ), desto stärker ist die Zugehörig-
keit von x G zur betreffenden Menge, Elemente können
also auch nur zu einem Teil zur betreffenden Menge gehören.
Die Erweiterung der klassischen charakteristischen Funktion
zum Zugehörigkeitsgrad der Fuzzy-Mengen wird als Fuzzii-
zierung bezeichnet.
Im Gegensatz zur klassischen Mengenlehre kann also in
der Fuzzy-Logik eine Eigenschaft auf einen Gegenstand bis
zu einem gewissen Grad zutreffen, repräsentiert durch eine
Zahl zwischen 0 und 1. Analog hierzu kann in der Fuzzy-
Logik eine Aussage nicht absolut, sondern nur zu einem ge-
wissen Grade richtig sein. Fuzzy-Logik [dt.: unscharfe Logik]
stellt somit eine Erweiterung der klassischen binären Logik
dar.
Zadeh war jedoch nicht der erste, der die klassische zwei-
wertige Logik infrage stellte. Platons Vermutung, dass es
eine dritte Region zwischen wahr und falsch geben müsse,
ist der antike Vorläufer des fuzzy-logischen Prinzips. Sein
Schüler Aristoteles postulierte jedoch das Gesetz vom aus-
geschlossenen Dritten, das die Entwicklung logischer und
mathematischer Systeme für die nächsten zwei Jahrtausende
bestimmen sollte.
Moderne Philosophen wie Gottfried Hegel und Bern-
hard Russel ( Abb. 3.24 ) nahmen Platons Vermutung wieder
auf. So schreibt Russel: The law of excluded middle is true
when precise symbols are employed, but it is not true when
symbols are vague, as, in fact, all symbols are. Beispiel-
haft stellt er die Ungenauigkeit in der Sprache an der Farbe
„Rot“ dar.
Diese Farbe steht nicht für eine bestimmte genau festge-
legte Wellenlänge, sondern beschreibt einen Bereich im Spek-
trum aller Farben. Auf B. Russel geht ferner die Paradoxie
des Barbiers einer spanischen Kleinstadt zurück, die besagt,
dass alle Männer, die sich nicht selbst rasieren, vom Barbier
Beispiel 2
Die Frage, ob ein Mensch der Größe x groß ist, lässt sich nur
schwer mit einer charakteristischen Funktion beantworten,
z. B.:
1
fürx
>
175
cm
() =
χ gross
x
0
fürx
175
cm
Diese Funktion hat drei Probleme:
1. Nicht jeder Mensch ist derselben Meinung, d. h. ein an-
derer Mensch würde die Grenze evtl. nicht bei 175 cm
ziehen. So würde ein 210 cm großer Mensch einen
175 cm großen Menschen eher als „klein“ bezeichnen,
während ein nur 150 cm großer Mensch einen Menschen
mit 170 cm Körpergröße bereits als „groß“ bezeichnen
würde.
2. Ein Mensch der Größe 175 cm ist nicht groß, ein Mensch,
der nur einen Zentimeter größer ist, ist bereits groß.
3. Ein Mensch, der genau 175 cm groß ist, wird je nachdem,
ob gerundet oder die Nachkommastelle abgeschnitten
wird, bzw. ob die Messung genau genug war, in verschie-
dene Kategorien eingeordnet.
Beispiel 3
Wir betrachten folgende Situation:
Gegeben sind ein Zimmer mit einem Kühlschrank und ein
Apfel. Die Frage
Beindet sich der Apfel im Kühlschrank?
lässt sich mithilfe der klassischen zweiwertigen Logik ein-
deutig beantworten.
Beißt nun jemand von diesem Apfel ein Stück ab und
verspeist dieses Stück, so ist die gleiche Frage mithilfe der
 
 
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