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lough aufgrund der einhundert Jahre zurückliegenden Geset-
zesinitiative in Alabama verfasst worden war.
Aber bis heute beherbergt die Kreiszahl Pi noch Geheim-
nisse. Es stellt sich die Frage, ob nicht Goethes Lebenswerk,
die gesamten Werke Shakespeares, ja sogar alle jemals veröf-
fentlichten Bücher und Schriftstücke in der Zahl Pi enthalten
sind. Die Lösung auf diese Frage liegt in der unendlichen
Anzahl von Nachkommastellen, die die Zahl Pi besitzt. Co-
diert man alle Buchstaben des Alphabets mit Zahlen, so muss
ganz einfach auch irgendwann einmal in den Nachfolgestel-
len von Pi die Zahlenfolge der codierten Werke von Goethe
und Shakespeare in richtiger Reihenfolge vorkommen. Dies
ist jedoch nur dann der Fall, wenn die Nachfolgestellen von
Pi keinerlei wiederkehrende Muster enthalten, also wirklich
rein zufällig sind, d. h. dass Pi mathematisch gesehen eine
„normale Zahl“ ist. Diese Frage konnte bis heute - trotz der
umfangreichen Berechnungen - noch nicht gelöst werden.
log
xy
=
log
x
+
log
y
b
b
b
und für ihre Division gilt
(
)
() ()
log
xy
/
=
log
x
−
log
y
.
b
b
b
Besitzt man Rechengeräte, die Additionen und Subtraktio-
nen durchführen können, so kann man mit ihnen auf der Basis
der logarithmischen Darstellung von Zahlen auch Multiplika-
tionen und Divisionen durchführen.
Die Babylonier hatten bereits um 1600 v. Chr. Tafeln der
Potenzen bestimmter Basen. In Euklids (365-300 v. Chr.)
Elemente
, Buch IX, Satz 11, indet man eine Aussage, die
zur Regel a
m
x a
n
= a
m+n
für positive ganze Exponenten äqui-
valent ist:
Wenn von Zahlen, die von der Einheit ab in festem Verhältnis
stehen, irgend zwei miteinander multipliziert werden, so wird
auch der beiden Faktoren ebenso weit abstehen, wie der kleinere
von der Einheit in der Zahlenfolge absteht; von der Einheit aber
wird es um eine Stelle weniger weit abstehen als die Abstands-
zahlen beider Faktoren von der Einheit aus zusammen betragen.
3.4.4
Logarithmen
Das Wort Logarithmus (Mehrzahl:
Logarithmen)
stammt von
den griechischen Wörtern
lógos
(Verständnis, Lehre, Verhält-
nis) und
arithmós
(Zahl) ab. Logarithmen sind somit „Ver-
hältniszahlen“. Es gilt nämlich: Genau dann steht a zu b im
selben Verhältnis wie c zu d (als Formel: a:b = c:d), wenn die
Unterschiede ihrer Logarithmen übereinstimmen (als Formel:
log(a) - log(b) = log(c) - log(d)).
Formal sind Logarithmen alle Lösungen für x, die für vor-
gegebene feste Größen
a
und
b
der Gleichung
Unter der Abstandszahl verstand Euklid die Nummer des
entsprechenden Folgegliedes. Da seine Folgen stets mit 1 = a
0
begannen, subtrahierte er nach der Multiplikation eine 1, um
dann die entsprechend richtige Nummer zu erhalten. Euklid
kannte jedoch noch keine Potenzschreibweise und konnte
daher die Logarithmen nicht entdecken.
Indische Mathematiker im 2. Jh. v. Chr. haben als erste
Logarithmen erwähnt. Schon in der Antike nutzten sie Lo-
garithmen zur Basis der Zahl Zwei für ihre Berechnungen.
Im 8. Jh. beschrieb der indische Mathematiker
Virasena
Lo-
garithmen zur Basis Drei und Vier. Ab dem 13. Jh. wurden
von arabischen Mathematikern ganze logarithmische Tabel-
lenwerke erstellt.
Die Entwicklung der Erkenntnisse über Algorithmen ver-
lief dagegen im Abendland viel langsamer.
Diophant von
Alexandria
führte als einer der Ersten spezielle Potenzbe-
zeichnungen ein. Für die Unbekannte („Basis“) führte er ein
spezielles Zeichen ein, das griechische x (xi, vielleicht als
Abkürzung für das griechische
xenos
= fremd), und gab den
Potenzen von x bis einschließlich der sechsten Potenz eigene
Namen und Symbole:
ab
x
=
genügen.
Je nachdem, über welchem Zahlenbereich und für welche
Größen diese Gleichung betrachtet wird, hat sie keine, meh-
rere oder genau eine Lösung. Ist die Lösung eindeutig, dann
wird sie als
der Logarithmus von a zur Basis b
bezeichnet
und man schreibt
x
= log.
a
b
Beispielsweise ist 4 der (reelle) Logarithmus von 16 zur
Basis 2, da 2
4
= 16 gilt.
Falls man die obige Gleichung nach
b
aulösen möchte
anstatt nach
x
, so ist die Lösung gegeben durch die
x
-te Wur-
zel aus
a
. Wie man sieht, besteht ein enger Zusammenhang
zwischen Potenzen, Logarithmen und Wurzeln.
Für die Entwicklung der Rechengeräte ist die historische
Bedeutung der Logarithmen dadurch gekennzeichnet, dass
man auf ihrer Basis Multiplikationen auf Additionen und Di-
visionen auf Subtraktionen zurückführen kann. Für die Mul-
tiplikation
xy
der beiden Zahlen
x
und
y
gilt
Diophantus von Alexandria: Arithmetica
1
Einheit
a
Zahl
a
2
Quadrat
a
3
Kubik
a
4
Quadrat × Quadrat
a
5
Quadrat × Kubik
a
6
Kubik × Kubik
Jordanus Nemorius
verwendete um 1200 die Regel von
Archimedes bei der Multiplikation von Sexagesimalbrüchen,
